• Câu hỏi:

    Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \(2x{\rm{ }} + 2{\rm{ }}y\; \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = xy + \frac{1}{{xy}}\).

    Lời giải tham khảo:

    \(2x + 2y \le 1 \Leftrightarrow x + y \le \frac{1}{2}\)

    Ta có \(P = xy + \frac{1}{{256xy}} + \frac{{255}}{{256xy}}\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số dương ta có :

    \(xy + \frac{1}{{256xy}} \ge 2\sqrt {xy.\frac{1}{{256xy}}}  \Leftrightarrow xy + \frac{1}{{256xy}} \ge \frac{1}{8}\) (1)

    Dấu "=" xảy ra khi xy = \(\frac{1}{4}\)

    Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai sô số dương x và y ta có :

    \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \)

    mà \(x + y \le \frac{1}{2}\) nên \(2\sqrt {xy}  \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow \frac{{255}}{{256xy}} \ge \frac{{255}}{{16}}\)  (2)

    Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x = y\\
    x + y = \frac{1}{2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{4}\)

    Dấu "=" xảy ra khi x = y = \(\frac{1}{4}\)

    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \(\frac{{257}}{{16}}\) đạt được khi x = y = \(\frac{1}{4}\)

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC