Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi I là trung điểm của BC.

a) \(\Delta ABC\) cân tại A có I là trung điểm của BC (gt)

Suy ra AI là trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta ABC\)

 \( \Rightarrow \widehat {AIC} = {90^0} \Rightarrow I \in \) đường tròn đường kính AC (1)

\(CH \bot AD\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {AHC} = {90^0}\)

\( \Rightarrow H \in \) đường tròn đường kính AC (2)

Mà \(A,C \in \) đường tròn đường kính AC nên từ (1) và (2) suy ra A, H, I, C thuộc đường tròn đường kính AC

b) \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ADC}\)

Chứng minh \(\Delta AEC\) đồng dạng \(\Delta ACD\)

\( =  > {\rm{ }}A{C^2} = {\rm{ }}AE.AD\)

c) Chứng minh \(\widehat {BDA} = \widehat {ADC}\)

\( \Rightarrow \Delta MDC\) cân tại D (vì có DH vừa là đường cao, vừa là đường phân giác) 

\( \Rightarrow \Delta AMC\) cân tại A (vì AH vừa là  đường  cao vừa là trung tuyến).

\( \Rightarrow AM=AC\)

\( \Rightarrow \) M thuộc đường tròn (A;AC) cố định (vì A, C cố định)