Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)= {sin ^3}x.cos x biết F(0)=pi. Tính F(pi/2)

Xét tích phân:\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x\cos x{\rm{dx}}} \)

Đặt \(u = \sin x \Rightarrow du = \cos dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\)

Vậy:

 \(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x\cos x{\rm{dx}}}  = \int\limits_0^1 {{u^3}du}  = \left. {\frac{1}{4}{u^4}} \right|_0^1 = \frac{1}{4} = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F(0)\\ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4} + \pi .\end{array}\)