Giả sử tích phân (I = intlimits_1^5 {frac{1}{{1 + sqrt {3x + 1} }}{ m{d}}x} = a + b.ln3 + c.ln5). Tính tổng a+b+c

Đặt \(1 + \sqrt {3x + 1}  = t \Rightarrow 3x + 1 = {\left( {t - 1} \right)^2} \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{2}{3}\left( {t - 1} \right){\rm{d}}t\).

Đổi cận \(x = 1 \Rightarrow t = 3;x = 5 \Rightarrow t = 5\).

Khi đó \(I = \int\limits_3^5 {\frac{2}{3}\frac{{t - 1}}{t}{\rm{d}}t}  = \frac{2}{3}\int\limits_3^5 {\left( {1 - \frac{1}{t}} \right){\rm{d}}t}  = \left. {\frac{2}{3}\left( {t - \ln \left| t \right|} \right)} \right|_3^5 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}ln3 - \frac{2}{3}ln5\).

Do đó \(a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3};c =  - \frac{2}{3}\).

Vậy \(a + b + c = \frac{4}{3}.\)