Cho đường tròn (O;R )và một điểm (M ) bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (C ) thuộc cung nhỏ (AB). Vẽ đường kính DE. Cho biết thêm rằng R = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức Q = MA + MB + MC + MD là:

Do DE là đường kính của (O;R) nên \( \widehat {DCE} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó CD⊥CE. Mặt khác theo giả thiết ta có CD⊥AB.

Do đó AB//CE.

Mặt khác các dây CE,AB là hai dây song song của (O)(O) chắn hai cung AC và BE nên cung  AC  bằng cung BE  hay cùng AE  bằng cung BC  suy ra EA=BC.

Mặt khác \( \widehat {DAE} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó

\( M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = \left( {M{A^2} + M{D^2}} \right) + \left( {M{B^2} + M{C^2}} \right) = A{D^2} + B{C^2} = D{E^2} = 4{R^2} = 4.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho MA²,MB² ta có

\( M{A^2} + M{B^2} \ge 2MA.MB \Rightarrow 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) \ge 2M{A^2} + 2M{B^2} \ge M{A^2} + M{B^2} + 2MA.MB = {\left( {MA + MB} \right)^2}.\)

Tương tự:

\( 2\left( {M{C^2} + M{D^2}} \right) \ge {\left( {MC + MD} \right)^2}.\)

Bằng cách tương tự trên ta chứng minh được

\( 2\left[ {{{\left( {MA + MB} \right)}^2} + {{\left( {MC + MD} \right)}^2}} \right] \ge {\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2}.\)

Từ đó ta suy ra

\( 4\left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}} \right) \ge {\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2}.\)

Vì vậy:

\( {\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2} \le 4.4 = {4^2} \Rightarrow MA + MB + MC + MD \le 4.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MA=MB=MC=MD. Khi đó M≡O.

Đáp án cần chọn là: D