Cho ∆ABC cân tại A (góc A < 900); các đường cao BD; CE (D ∈AC; E ∈ AB) cắt nhau tại H.

a) Xét Δ ABD và Δ ACE có:

∠ADB = ∠AEC = 90⁰ (gt)

BA = AC (gt)

∠BAC (chung)

⇒ Δ ABD = Δ ACE (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Có ΔABD = ΔACE  ⇒ ∠ABD = ∠ACE (hai góc tương ứng)

Mặt khác: ∠ABC = ∠ACB (D ABC cân tại A )

⇒ ABC – ABD = ACB – ACE ⇒ HBC = HCB

⇒ ΔBHC là tam giác cân tại H

c) Có ΔHDC vuông tại D nên HD < HC

mà HB = HC (ΔBHC cân tại H)

⇒ HD < HB

d) Gọi I là giao điểm của BN và CM

* Xét ΔBNH và ΔCMH có:

BH = CH (ΔBHC cân tại H)

∠BHN = ∠CHM (đối đỉnh)

NH = HM (gt)

ΔBNH = ΔCMH (c.g.c) ⇒ ∠HBN = ∠HCM

* Lại có: ∠HBC = ∠HCB  (Chứng minh câu b)

⇒ ∠HBC + ∠HBN = ∠HCB + ∠HCM ⇒ ∠IBC = ∠ICB

⇒ IBC cân tại I ⇒ IB = IC   (1)

Mặt khác ta có:  AB =  AC (D ABC cân tại A)  (2)

HB = HC (D HBC cân tại H) (3)

* Từ (1); (2) và (3)

⇒ 3 điểm I; A; H cùng nằm trên đường trung trực của BC

⇒ I; A; H thẳng hàng

⇒  các đường thẳng BN; AH; CM đồng quy