Tóm tắt lý thuyết và bài tập về giá trị lượng giác của cung \(\alpha\)

Trên đường tròn lượng giác cho cung \(\overset{   \curvearrowright }{\mathop{AM}}\,\) có sđ\(\overset{   \curvearrowright }{\mathop{AM}}\,=\alpha \) (còn viết ..)

\(\bullet \) Tung độ y =\(\overline{OK}\)của điểm \(M\) gọi là sin của \(\alpha \) và kí hiệu là \(\sin \alpha .\)

\(\sin \alpha =\overline{OK}\)

\(\bullet \) Hoành độ \(x=\overline{OH}\) của điểm \(M\) gọi là côsin của \(\alpha \) và kí hiệu là \(\cos \alpha .\)

\(\cos \alpha =\overline{OH}\)

\(\bullet \) Nếu \(\cos \alpha \ne 0,\) tỉ số \(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\) gọi là tang của \(\alpha \) và kí hiệu là \(\tan \alpha \) (người ta còn dùng kí hiệu \(\operatorname{tg}\alpha \))

\(\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.\)

\(\bullet \) Nếu \(\sin \alpha \ne 0,\) tỉ số \(\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) gọi là côtang của \(\alpha \) và kí hiệu là \(\cot \alpha \) (người ta còn dùng kí hiệu \(\operatorname{cotg}\alpha \)): \(\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }.\)

Các giá trị \(\sin \alpha ,\text{ }\cos \alpha ,\text{ }tan\alpha ,\text{ }cot\alpha \) được gọi là các giá trị lượng giác của cung \(\alpha .\)

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

1) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) xác định với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}.\) Hơn nữa, ta có

\(\begin{array}{l} \sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,{\rm{ }}\forall k \in Z;\\ \cos \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha ,{\rm{ }}\forall k \in Z \end{array}\)

2) Vì \(-1\le \overline{OK}\le 1;\) \(-1\le \overline{OH}\le 1\) nên ta có

\(\begin{array}{l} - 1 \le \sin \alpha \le 1\\ - 1 \le \cos \alpha \le 1 \end{array}\)

3) Với mọi \(m\in \mathbb{R}\) mà \(-1\le m\le 1\) đều tồn tại \(\alpha \) và \(\beta \) sao cho \(\sin \alpha =m\) và \(\cos \beta =m.\)

4) \(\tan \alpha \) xác định với mọi \(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi \text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)

5) \(\cot \alpha \) xác định với mọi \(\alpha \ne k\pi \text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung \(\overset{   \curvearrowright }{\mathop{AM}}\,=\alpha \) trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”

a. Ý nghĩa hình học của \(\tan \alpha \)

Từ A vẽ tiếp tuyến t'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A.

Gọi T là giao điểm của OM với trụct'At

\(\tan \alpha \) được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{AT}\) trên trục t'At. Viết: \(\tan \alpha =\overline{AT}\)

Trục t'At được gọi là trục tang.

b. Ý nghĩa hình học của \(\cot \alpha \)

Từ B vẽ tiếp tuyến s'Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại B.

Gọi S là giao điểm của OM với trục s'Bs

\(\cot \alpha \) được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{BS}\) trên trục s'Bs. Viết: \(\cot \alpha =\overline{BS}\)

Trục s'Bs được gọi là trục côtang.

Nhận xét:

\(\begin{array}{l} \tan \left( {\alpha + k\pi } \right) = \tan \alpha ,{\rm{ }}\forall k \in Z;\\ \cot \left( {\alpha + k\pi } \right) = \cot \alpha ,{\rm{ }}\forall k \in Z \end{array}\)

Câu 1. Điểm cuối của \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.

A. \(\sin \alpha >0.\)                             

B. \(\cos \alpha <0.\)

C. \(\tan \alpha <0.\)

D. \(\cot \alpha <0.\)

Câu 2. Điểm cuối của \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. \(\sin \alpha >0.\)                             

B. \(\cos \alpha <0.\)

C. \(\tan \alpha >0.\)

D. \(\cot \alpha >0.\)

Câu 3. Điểm cuối của \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là

đúng ?

A. \(\sin \alpha >0.\)   

B. \(\cos \alpha >0.\)

C. \(\tan \alpha >0.\)

D. \(\cot \alpha >0.\)

Câu 4. Điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ mấy nếu \(\sin \alpha ,\text{ }\cos \alpha \) cùng dấu?

A. Thứ \(\text{II}\text{.}\)

B. Thứ \(\text{IV}\text{.}\)

C. Thứ \(\text{II}\) hoặc \(\text{IV}\text{.}\)     

D. Thứ \(\text{I}\) hoặc \(\text{III}\text{.}\)

Câu 5. Điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ mấy nếu \(\sin \alpha ,\text{ tan}\alpha \) trái dấu?

A. Thứ \(\text{I}\text{.}\)                   

B. Thứ \(\text{II}\) hoặc \(\text{IV}\text{.}\)    

C. Thứ \(\text{II}\) hoặc \(\text{III}\text{.}\)    

D. Thứ \(\text{I}\) hoặc \(\text{IV}\text{.}\)

Câu 6. Điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ mấy nếu \(\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }.\)

A. Thứ \(\text{II}\text{.}\)                 

B. Thứ \(\text{I}\) hoặc \(\text{II}\text{.}\)       

C. Thứ \(\text{II}\) hoặc \(\text{III}\text{.}\)         

D. Thứ \(\text{I}\) hoặc \(\text{IV}\text{.}\)

Câu 7. Điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ mấy nếu \(\sqrt{{{\sin }^{2}}}\alpha =\sin \alpha .\)

A. Thứ \(\text{III}\text{.}\)                

B. Thứ \(\text{I}\) hoặc \(\text{III}\text{.}\)     

C. Thứ \(\text{I}\) hoặc \(\text{II}\text{.}\)

D. Thứ \(\text{III}\) hoặc \(\text{IV}\text{.}\)

Câu 8. Cho \(2\pi <\alpha <\frac{5\pi }{2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\tan \alpha >0;\)\(\cot \alpha >0.\)                            

B. \(\tan \alpha <0;\)\(\cot \alpha <0.\)

C. \(\tan \alpha >0;\)\(\cot \alpha <0.\)                             

D. \(\tan \alpha <0;\)\(\cot \alpha >0.\)

Câu 9. Cho \(0<\alpha <\frac{\pi }{2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\sin \left( \alpha -\pi  \right)\ge 0.\)           

B. \(\sin \left( \alpha -\pi  \right)\le 0.\)         

C. \(\sin \left( \alpha -\pi  \right)<0.\)          

D. \(\sin \left( \alpha -\pi  \right)<0.\)

Câu 10. Cho \(0<\alpha <\frac{\pi }{2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\cot \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)>0.\)        

B. \(\cot \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)\ge 0.\)        

C. \(\tan \left( \alpha +\pi  \right)<0.\)                    

D. \(\tan \left( \alpha +\pi  \right)>0.\)

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Tóm tắt lý thuyết và bài tập về giá trị lượng giác của cung \(\alpha\). Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Các hệ thức lượng giác cơ bản và bài tập vận dụng

• Lý thuyết và các dạng toán điển hình về Giá trị lượng giác của một cung Toán 10

Chúc các em học tập tốt!