Các hệ thức lượng giác cơ bản và bài tập vận dụng

1. \(\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\left( \alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right)\)

2. \(\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\left( \alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right)\)

3. \({{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\)

4. \(1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\left( \alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right)\)

5. \(1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\left( \alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right)\)

6. \(\tan \alpha .\cot \alpha =1\left( \alpha \ne k\frac{\pi }{2} \right)\)

7. \(\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }\left( \alpha \ne \frac{k\pi }{2} \right)\)

Ví dụ: Cho \(\sin \alpha = \frac{{ - 4}}{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Giá trị của \(\cos \alpha \) là: A. \(\frac{3}{5}\) B. \(\frac{-3}{5}\) C. \( \pm \frac{3}{5}\) D. \(\frac{9}{{25}}\)

Lời giải

Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {\cos ^2} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos \alpha = \frac{3}{5}\\ \cos \alpha = - \frac{3}{5} \end{array} \right.\).

Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ - 3}}{5}\).

Đáp án B.

Bài 1: Cho \(\tan \alpha =-2\). Khi đó giá trị \(\sin \alpha .\cos \alpha \) gần nhất với giá trị nào sau đây? A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

Lời giải

\(\tan \alpha =-2\Rightarrow \frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }=1+{{\tan }^{2}}\alpha =1+4=5\)

\(\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{5}\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =1-\frac{4}{5}=\frac{4}{5}\)

Mặt khác ta thấy \(\tan \alpha =-2=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\) nên \(\sin \alpha ,\cos \alpha \) trái dấu

\(\Rightarrow \sin \alpha .\cos \alpha =-\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{-2}{5}\)

Đáp án B.

Bài 2: Giá trị \({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x\) bằng giá trị nào sau đây? A. \(1-2{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\) B. \({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\) C. \(\frac{1}{{{\tan }^{6}}x+1}+\frac{1}{{{\cot }^{6}}x+1}\) D. \(1-3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\)

Lời giải

\({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x={{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{3}}-3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)=1-3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\)

Hay \({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x=\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)\left( {{\sin }^{4}}x-{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{4}}x \right)\)

\(={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\)

\(={{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x=1-3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\).

Đáp án D.

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1-{{\sin }^{2}}a.{{\cos }^{2}}a}{{{\cos }^{2}}a}-{{\cos }^{2}}a\). A. 0 B. 2 C. 1 D. -1

Lời giải

Ta có: \(P=\frac{1-{{\sin }^{2}}a.{{\cos }^{2}}a}{{{\cos }^{2}}a}-{{\cos }^{2}}a\) (ĐK: \(\cos a\ne 0\))

\(=\frac{{{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a.{{\cos }^{2}}a}{{{\cos }^{2}}a}-{{\cos }^{2}}a\)

\(=\frac{{{\sin }^{2}}a}{{{\cos }^{2}}a}+1-{{\sin }^{2}}a-{{\cos }^{2}}a={{\tan }^{2}}a\ge 0\text{ }\forall a\) thỏa mãn \(\cos a\ne 0\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \sin a=0\Leftrightarrow \left| \cos a \right|=1\) (thỏa mãn ĐKXĐ)

Đáp án A.

Bài 4: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào biến x? A. \({{\sin }^{2}}x+2{{\cos }^{2}}x\) B. \(2\left( {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x \right)-3\left( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x \right)\) C. \({{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x-1\) D. \(2+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\)

Lời giải

+ \({{\sin }^{2}}x+2{{\cos }^{2}}x={{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1+{{\cos }^{2}}x\) (loại)

+ \(2\left( {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x \right)-3\left( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x \right)\)

\(=2\left( 1-3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x \right)-3\left( 1-2{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x \right)=-1\) (thỏa mãn).

Đáp án B.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Các hệ thức lượng giác cơ bản và bài tập vận dụng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!