Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu hoặc trái dấu Toán 12

Giả sử \(y'=a{{x}^{2}}+bx+c\)

* Hàm số có hai điểm cực trị dương \(\Leftrightarrow  y'=0\) có hai nghiệm dương phân biệt : \(0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Leftrightarrow a\ne 0,\mathsf{ }\Delta >0,\mathsf{ }{{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0,\mathsf{ }{{x}_{1}}.{{x}_{2}}>0\).

* Hàm số có hai điểm cực trị âm \(\Leftrightarrow  y'=0\) có hai nghiệm âm phân biệt

\({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<0\Leftrightarrow a\ne 0,\mathsf{ }\Delta >0,\mathsf{ }{{x}_{1}}+{{x}_{2}}<0,\mathsf{ }{{x}_{1}}.{{x}_{2}}>0\).

* Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu \(\Leftrightarrow  y'=0\) có hai nghiệm trái dấu

\({{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}\Leftrightarrow a\ne 0,\mathsf{ }{{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0\).

* Hàm số có hai cực trị có giá trị cực trị cùng dấu \(\Leftrightarrow {{y}_{1}}.{{y}_{2}}>0\).

Ví dụ : Định m để hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x-{{m}^{3}}\) có cực trị trái dấu .

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-6mx+3({{m}^{2}}-1)\)

Hàm số có cực trị trái dấu nhau khi và chỉ khi y'=0 có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn

\({{x}_{1}}<0<{{x}_{2}} \Leftrightarrow 9({{m}^{2}}-1)<0\Leftrightarrow -1\)

Vậy, với - 1 < m < 1 thì hàm số có cực trị trái dấu nhau .

Bài 1: Tìm m để hàm số : \(y=\frac{m{{x}^{3}}}{3}-m{{x}^{2}}+x-1\) có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu.

Lời giải.

Hàm số có hai điểm cực trị

⇒ Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt \({{\text{x}}_{\text{1}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{2}}} \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & \Delta '>0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & {{m}^{2}}-m>0 \\ \end{align} \right.\)

⇒ m<0 hoặc m>1

Hai giá trị cực trị cùng dấu \(\Leftrightarrow y({{x}_{1}}).y({{x}_{2}})>0\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{3}[(1-m){{x}_{1}}-1].\frac{2}{3}[(1-m){{x}_{2}}-1]>0\).

Bài 2: Tìm m để hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+3\left( m+2 \right)x-m-6\) đạt cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu.

Lời giải.

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi y'=0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm đó

\(\Leftrightarrow \Delta '=36-9\left( m+2 \right)>0 \)

\(\Leftrightarrow 2-m>0\)

\(\Leftrightarrow m<2\)

\({{y}_{1}}=2\left( m-2 \right){{x}_{1}}+m-2, {{y}_{2}}=2\left( m-2 \right){{x}_{2}}+m-2\)

Theo bài toán : \({{y}_{1}}.{{y}_{2}}>0\)

\(\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}\left( 4m+17 \right)>0\)

Bài 3: Tìm m để hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x+6m-2\) có hai cực trị trái dấu.

Lời giải.

Do \({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Rightarrow \) hàm số luôn có hai cực trị;

\({{y}_{1}}=m({{m}^{2}}+3),\text{ }{{y}_{2}}=(m-1)({{m}^{2}}+m+4)\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow {{y}_{1}}.{{y}_{2}}<0\)

\(\Leftrightarrow m(m-1)<0\)

\(\Leftrightarrow 0 < m < 1\)

Bài 4: Tìm m để hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+(m+1){{x}^{2}}+(6-2m)x+m\) đạt cực trị tại hai điểm trái dấu.

Lời giải.

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow y'=0\) có hai nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow 6-2m<0\)

\(\Leftrightarrow m>3\).

Bài 5: Tìm m để hàm số \(y=(m+1){{x}^{3}}-3(m+1){{x}^{2}}+2mx-m\) có các điểm cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng d:x=1.

Lời giải.

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow y'=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m+1\ne 0 \\ & \Delta '=9{{(m+1)}^{2}}-6m(m+1)>0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-3 \\ & m>-1 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\Rightarrow \) hai điểm cực trị cách đều đường thẳng x=1.

Bài 6: Tìm m để hàm số \(y={{x}^{3}}-(2m+1){{x}^{2}}+3mx-m\) có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số trái dấu nhau.

Lời giải.

Hàm số có hai cực trị trái dấu ⇒ đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt

Phương trình hoành độ giao điểm: \((x-1)({{x}^{2}}-2mx+m)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) hoặc \({{x}^{2}}-2mx+m=0\left( * \right)\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 1 \(\Leftrightarrow m\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )\).

 

Trên đây là tòan bộ nội dung Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu hoặc trái dấu Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có hoặc không có cực trị Toán 12

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị tại điểm Toán 12

Chúc các em học tập tốt!