Phương pháp tích phân từng phần

1. Định lí

Nếu \(u\left( x \right)\) và \(v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì:

\(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx = \left( {u(x)v(x)} \right)\left| \begin{gathered}b \hfill \\
a \hfill \\\end{gathered} \right. – \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx} }\)

Hay \(\int\limits_a^b {udv}   = uv\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.  – \int\limits_a^b {vdu} \)

2. Phương pháp chung

• Bước 1: Viết \(f\left( x \right)dx\) dưới dạng \(udv = uv’dx\) bằng cách chọn một phần thích hợp của \(f\left( x \right)\) làm \(u\left( x \right)\) và phần còn lại \(dv = v'(x)dx\)

• Bước 2: Tính \(du = u’dx\) và \(v = \int {dv}   = \int {v'(x)dx} \)

• Bước 3: Tính \(\int\limits_a^b {vu'(x)dx} \) và \(uv\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.\)

3. Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần

Đặt u theo thứ tự ưu tiên: Lô-đa-lượng-mũ	\(\int\limits_a^b {P(x){e^x}dx} \)	\(\int\limits_a^b {P(x)\ln xdx} \)	\(\int\limits_a^b {P(x)\cos xdx} \)	\(\int\limits_a^b {{e^x}\cos xdx} \)
u	P(x)	lnx	P(x)	\({e^x}\)
dv	\({e^x}dx\)	P(x)dx	cosxdx	cosxdx

Chú ý: Nên chọn \(u\) là phần của \(f\left( x \right)\) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn \(dv = v’dx\) là phần của \(f\left( x \right)dx\) là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

4. Loại 1: Tích phân chứa đa thức với lượng giác hoặc mũ

\(\int\limits_\alpha ^\beta {f\left( x \right)\left[ \begin{array}{l}\sin ax\\\cos ax\\{e^{ax}}\end{array} \right]dx} \)

Phương pháp:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \left[ \begin{array}{l}\sin ax\\\cos ax\\{e^{ax}}\end{array} \right]dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v = \int {\left[ \begin{array}{l}\sin ax\\\cos ax\\{e^{ax}}\end{array} \right]} dx\end{array} \right.\).

Ví dụ 1: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {x{e^x}dx} \).

Ⓐ. \(I = {e^2}\). 

Ⓑ. \(I = – {e^2}\). 

Ⓒ. \(I = e\). 

Ⓓ. \(I = 3{e^2} – 2e\).

Lời giải

Chọn A

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^2 {x{e^x}dx} = x{e^x}\left| {_1^2} \right. – \int\limits_1^2 {{e^x}dx} = 2{e^2} – e – {e^x}\left| {_1^2} \right.\\\,\, = 2{e^2} – e – \left( {{e^2} – e} \right) = {e^2}\end{array}\).

5. Loại 2: Tích phân chứa đa thức và lnf(x)

\(\int\limits_\alpha ^\beta {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \)

Phương pháp:

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\\\dv = P(x)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\\\v = \int {P(x)dx}  = Q(x)\end{array} \right.\)

Ví dụ 2: Tích phân \(\int\limits_1^e {x\ln xdx} \) bằng

Ⓐ. \(\frac{{{e^2}}}{4} + \frac{1}{4}\). 

Ⓑ. \(\frac{{{e^2}}}{4} – 1\). 

Ⓒ. \(\frac{{{e^2} – 1}}{4}\). 

Ⓓ. \(\frac{1}{2} – \frac{{{e^2}}}{4}.\)

Lời giải

Chọn D

\(\int\limits_1^e {x\ln xdx} = \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{2}\ln {\rm{x}}\left| {_1^e} \right. – \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{\rm{x}}}{2}} {\rm{dx}} = ( – \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{2}\ln {\rm{x)}}\left| {_1^e} \right. = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\)

Câu 1: Tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} \) có giá trị bằng

A. \(1\). 

B. \(1 – e\). 

C. \(e – 1\). 

D. \(2\).

Lời giải

Ta có \(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}{\rm{d}}x}   = \left. {\ln x} \right|_1^e = \ln e – \ln 1 = 1\).

Câu 2: Tính tích phân: \(I = \int\limits_0^1 {{3^x}{\rm{d}}x.} \)

A. \(I = \frac{3}{{\ln 3}}\). 

B. \(I = 2\). 

C. \(I = \frac{2}{{\ln 3}}\). 

D. \(I = \frac{1}{4}\).

Lời giải

Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {{3^x}{\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right)} \right|_0^1  = \frac{3}{{\ln 3}} – \frac{1}{{\ln 3}} = \frac{2}{{\ln 3}}\).

Câu 3: Biết \(I = \int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \sin 3x + C\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. \(f\left( x \right) = – 3\cos 3x\). 

B. \(f\left( x \right) = 3\cos 3x\).

C. \(f\left( x \right) = – \frac{{\cos 3x}}{3}\). 

D. \(f\left( x \right) = \frac{{\cos 3x}}{3}\).

Lời giải

\(f\left( x \right) = F’\left( x \right) = 3\cos 3x\).

Câu 4: Giá trị của \(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} \) là:

A. \({e^4} – 1\). 

B. \(4{e^4}\). 

C. \({e^4}\). 

D. \(3{e^4} – 1\).

Lời giải

Ta có: \(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x = \left. {{e^{2x}}} \right|_0^2} = {e^4} – 1\).

Câu 5: Giả sử \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 37\) và \(\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 16\). Khi đó, \(I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng:

A. \(I = 26\). 

B. \(I = 58\). 

C. \(I = 143\). 

D. \(I = 122\).

Lời giải

Ta có: \(I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^9 {2f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^9 {3g\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 3\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 26\).

Câu 6: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}} \)

A. \( – \frac{1}{2}\ln 3\). 

B. \( – \ln 3\). 

C. \(\frac{1}{2}\ln 3\). 

D. \(\frac{1}{2}\log 3\).

Lời giải

Ta có \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}}   = \left. { – \frac{1}{2}\ln \left| {3 – 2x} \right|} \right|_0^1  = \frac{1}{2}\ln 3\).

Câu 7: Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\,\) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\,\), khi \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \,\) bằng

A. \( – 3\) 

B. \(12\) 

C. \( – 8\) 

D. \(1\)

Lời giải

Có \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x}   = 2 – 2.5 = – 8\).

Câu 8: Cho \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10\). Kết quả \(\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng

A. \(32\). 

B. \(34\). 

C. \(36\). 

D. \(40\).

Lời giải

Ta có: \(\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – \int\limits_2^5 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – 2\int\limits_2^5 {{\rm{d}}x} + 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\).

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = – \left. {2x} \right|_2^5 + 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } – 6 + 40 = 34\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tích phân từng phần. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tính tích phân hàm ẩn đổi biến số cơ bản

• Phương pháp tính tích phân bằng cách đổi biến số cơ bản

Chúc các em học tập tốt!