Phương pháp tính tích phân hàm ẩn đổi biến số cơ bản

Tính tích phân \(I = \int\limits_a^b {g(x)dx} \).Giả sử \(g(x)\) được viết dưới dạng \(f\left[ {u(x)} \right].u'(x)\),trong đó hàm số \(u(x)\)có đạo hàm trên \(K\), hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp \(f\left[ {u(x)} \right]\) xác định trên \(K\) và \(a,b\) là hai số thuộc \(K\).

Khi đó \(\int\limits_a^b {f\left[ {u(x)} \right].u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} } \)

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho \(x\). Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là \(\int\limits_a^b {f(x)dx = } \int\limits_a^b {f(u)du = } \int\limits_a^b {f(t)dt = …} \)

Ví dụ 1: Biết \(f\left( x \right)\)là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 9\). Khi đó giá trị của \(\int\limits_1^4 {f\left( {3x – 3} \right)} {\rm{d}}x\) là

Ⓐ. \(0\). 

Ⓑ. \(27\). 

Ⓒ. \(3\). 

Ⓓ.\)24\).

Lời giải

Chọn C

Đặt \(u = 3x – 3\), suy ra \(du = 3{\rm{d}}x\).

Đổi cận: \(x = 1\) thì \(u = 0\); \(x = 4\) thì \(u = 9\).

Ta có: \(\int\limits_1^4 {f\left( {3x – 3} \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^9 {\frac{1}{3}f\left( u \right)} {\rm{d}}u = \frac{1}{3}\int\limits_0^9 {f\left( u \right)} {\rm{d}}u = \frac{1}{3}\int\limits_0^9 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{3}.9 = 3.\).

Vậy \(\int\limits_1^4 {f\left( {3x – 3} \right)} {\rm{d}}x = 3\).

Ví dụ 2: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \)R\) và thỏa mãn \(f({x^3} + 2x – 2) = 3x – 1\) với \(\forall x \in R\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{10} {f(x)} dx\)

Ⓐ. \(\frac{{151}}{4}\). 

Ⓑ. \(27\). 

Ⓒ. \(\frac{{121}}{4}\). 

Ⓓ.\(\frac{{105}}{6}\).

Lời giải

Chọn A

Đặt \(x = {t^3} + 2t – 2 \Rightarrow dx = \left( {3{t^2} + 2t} \right)dt\),

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow {t^3} + 2t = 3 \Leftrightarrow t = 1\\x = 10 \Rightarrow {t^3} + 2t = 12 \Leftrightarrow t = 2\end{array} \right.\)

Ta có \(I = \int\limits_1^2 {f({t^3} + 2t – 2).\left( {3{t^2} + 2t} \right)} dt = \int\limits_1^2 {\left( {3t – 1} \right)\left( {3{t^2} + 2t} \right)} dt = \int\limits_1^2 {\left( {9{t^3} + 3{t^2} – 2t} \right)dt}  = \left. {\left( {\frac{{9{t^4}}}{4} + {t^3} – {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{151}}{4}\)

Ví dụ 3: Cho Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(R\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{2021} {f(x)dx = 2} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2021}} – 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left( {\ln ({x^2} + 1)} \right).dx} \)

Ⓐ. \(3\). 

Ⓑ. \(5\). 

Ⓒ. \(1\). 

Ⓓ.\( – 3\).

Lời giải

Chọn C

Đặt \(t = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow dt = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}dx \Rightarrow \frac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \frac{1}{2}dt\),

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \sqrt {{e^{2021}} – 1} \Rightarrow t = 2021\end{array} \right.\)

Ta có \(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^{2021} {f(t)} dt = \frac{1}{2}\int\limits_0^{2021} {f(x)} dx = \frac{1}{2}.2 = 1\)

Câu 1: Tập hợp các giá trị của b sao cho \(\int\limits_0^b {\left( {2x – 4} \right){\rm{d}}x = 5} \) là.

A. \(\left\{ 5 \right\}\). 

B. \(\left\{ {4; – 1} \right\}\). 

C. \(\left\{ {5; – 1} \right\}\). 

D. \(\left\{ 4 \right\}\).

Lời giải

Ta có \(\int_0^b {\left( {2x – 4} \right){\rm{d}}x} = \left( {{x^2} – 4x} \right)\left| \begin{array}{l}b\\0\end{array} \right. = {b^2} – 4b\).

Theo đề bài, ta có \({b^2} – 4b = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = – 1\\b = 5\end{array} \right.\).

Câu 2: Nếu \(\int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = 2\) thì \(m\) có giá trị bằng

A. \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 2\end{array} \right.\). 

B. \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\). 

C. \(\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = 2\end{array} \right.\). 

D. \(\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = – 2\end{array} \right.\).

Lời giải

Ta có: \(\int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = 2 \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} – x} \right)} \right|_0^m = 2 \Leftrightarrow {m^2} – m – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = 2\end{array} \right.\).

Câu 3: Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} \) bằng

A. \(I = 2\left( {{{\rm{e}}^2} – 1} \right)\). 

B. \(I = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2}\). 

C. \(\frac{{{{\rm{e}}^2} – 1}}{2}\). 

D. \({{\rm{e}}^2} – 1\).

Lời giải

Ta có \(I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x}   = \frac{1}{2}\left. {{{\rm{e}}^{2x}}} \right|_0^1  = \frac{{{{\rm{e}}^2} – 1}}{2}\).

Câu 4: Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right){\rm{d}}x} \) bằng.

A. \(\frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\). 

B. \(1 – \sqrt 2 \). 

C. \(\frac{{\sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 }}\). 

D. \(\sqrt 2 – 1\).

Lời giải

Ta có: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right){\rm{d}}x}   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x{\rm{d}}x}   = \left. { – \cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}  = \frac{{\sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 }}\).

Câu 5: Tích phân \(\int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}} {\rm{d}}x\) bằng.

A. \(2\ln 5\). 

B. \(\frac{1}{2}\ln 5\). 

C. \(\ln 5\). 

D. \(4\ln 5\).

Lời giải

Ta có \(\int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}} \,{\rm{d}}x = \left. {\ln \left| {2x + 1} \right|} \right|_0^2 = \ln 5\).

Câu 6: Tích phân \(f\left( x \right) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos x{\rm{d}}x} \) bằng

A. \(\frac{1}{2}\) 

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) 

C. \( – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) 

D. \( – \frac{1}{2}\)

Lời giải

\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos x{\rm{d}}x} = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Câu 7: Tích phân \(I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} \) bằng:

A. \(\ln \left[ {4\left( {{\rm{e}} + 3} \right)} \right]\). 

B. \(\ln \left( {{\rm{e}} – 2} \right)\). 

C. \(\ln \left( {{\rm{e}} – 7} \right)\). 

D. \(\ln \left( {\frac{{3 + {\rm{e}}}}{4}} \right)\).

Lời giải

\(I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{{\rm{d}}\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}}} = \ln \left| {x + 3} \right|\left| \begin{array}{l}{\rm{e}}\\1\end{array} \right. = \ln \left( {\frac{{3 + {\rm{e}}}}{4}} \right)\).

Câu 8: Giá trị của \(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} \) là:

A. \(3{e^4}\). 

B. \(4{e^4}\). 

C. \({e^4} – 1\). 

D. \({e^4}\).

Lời giải

\(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} = {e^4} – 1\).

Câu 9: Tích phân \(\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} \) có giá trị là:

A. \(2\). 

B. \(3\). 

C. \(1\). 

D. \(4\).

Lời giải

Ta có: \(\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} = \left. {{x^2}} \right|_1^2  = 3\).

Câu 10: Giả sử \(\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 3}}} = \ln \frac{a}{b}\) với a, b là các số tự nhiên và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \({a^2} + {b^2} = 41\). 

B. \(3a – b < 12\). 

C. \(a + 2b = 13\). 

D. \(a – b > 2\).

Lời giải

Ta có: \(\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 3}}} = \ln \left| {x + 3} \right|\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \ln \frac{5}{4}\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là toàn bộ nội dung Phương pháp tính tích phân hàm ẩn đổi biến số cơ bản. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tính tích phân bằng cách đổi biến số cơ bản

• Chuyên đề tính tích phân bằng tính chất và định nghĩa

Chúc các em học tập tốt!