Chuyên đề tính tích phân bằng tính chất và định nghĩa

1. Tích phân dùng định nghĩa

Phương pháp: Học thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản thường gặp.

Nhận xét: Tích phân của hàm số \(f\) từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \) hay \(\int\limits_a^b {f(t)dt} .\) Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

2. Tích phân dùng tính chất

Phương pháp:

Giả sử cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(K,a,b,c\) là ba số bất kỳ thuộc \(K\). Khi đó ta có

①.\(\int\limits_a^a {f(x)dx = 0} \) 

②.\(\int\limits_a^b {f(x)} dx = – \int\limits_b^a {f(x)dx} \).

③.\(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} \) 

④.\(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} \).

⑤.\(\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k.\int\limits_a^b {f(x)dx} \).

Ví dụ 1: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {{\rm{d}}x} \).

Ⓐ. \(a – b\). 

Ⓑ. \(a.b\). 

Ⓒ.\(b – a\). 

Ⓓ. \(a + b\).

Lời giải

Chọn C

Ta có: \(\int\limits_a^b {{\rm{d}}x} = x\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. = b – a\)

Ví dụ 2: Giá trị của \(\int\limits_{ – 1}^0 {{{\rm{e}}^{x + 1}}{\rm{d}}x} \) bằng

Ⓐ. \(1 – {\rm{e}}\) . 

Ⓑ. \({\rm{e}} – 1\). 

Ⓒ.\( – {\rm{e}}\).

Ⓓ. \({\rm{e}}\).

Lời giải

Chọn B

Ta có \(\int\limits_{ – 1}^0 {{{\rm{e}}^{x + 1}}{\rm{d}}x} \) = \(\left. {{{\rm{e}}^{x + 1}}} \right|_{ – 1}^0\) = \({\rm{e}} – 1\) .

Ví dụ 3: Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{x^{2020}}{\rm{d}}x} \) bằng

Ⓐ. \(\frac{1}{{2021}}\). 

Ⓑ. \(0\). 

Ⓒ.\(\frac{1}{{2019}}\). 

Ⓓ. \(1\).

Lời giải

Chọn A

Ta có \(I = \int\limits_0^1 {{x^{2020}}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{{x^{2021}}}}{{2021}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{2021}}\).

Câu 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^2 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = – 3\). Tính \(f\left( 2 \right)\).

A. \(f\left( 2 \right) = 4\). 

B. \(f\left( 2 \right) = – 4\). 

C. \(f\left( 2 \right) = – 2\). 

D. \(f\left( 2 \right) = – 3\).

Lời giải

Ta có \(\int\limits_0^2 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^2 = f\left( 2 \right) – f\left( 0 \right) = – 3 \Rightarrow f\left( 2 \right) = – 3 + f\left( 0 \right) = – 3 + 1 = – 2\).

Câu 2: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), biết \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 9\)và \(f\left( 0 \right) = 3\). Giá trị của \(f\left( 9 \right)\)bằng

A. \(f\left( 9 \right) = 6\) 

B. \(f\left( 9 \right) = 12\) 

C. \(f\left( 9 \right) = – 6\) 

D. \(f\left( 9 \right) = – 12\)

Lời giải

\(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x  = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^9  = F\left( 9 \right) – F\left( 0 \right) = 9  \Leftrightarrow F\left( 9 \right) = F\left( 0 \right) + 9  = 3 + 9 = 12\).

Câu 3: Biết \(f\left( x \right)\,\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {4^x}\,\) và \(f\left( 1 \right) = \frac{3}{{\ln 2}}\). Khi đó giá trị của \(f\left( 2 \right)\,\) bằng.

A. \(\frac{9}{{\ln 2}}\). 

B. \(\frac{8}{{\ln 2}}\). 

C. \(\frac{3}{{\ln 2}}\). 

D. \(\frac{7}{{\ln 2}}\).

Lời giải

Ta có: \(f\left( 2 \right) = \int\limits_1^2 {{4^x}{\rm{d}}x} + F(1) = \frac{9}{{\ln 2}}\).

Câu 4: Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 2\) và \(\int\limits_1^6 {f\left( x \right)} dx = 5\), khi đó \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} dx\) bằng?

A. \(7\). 

B. \( – 3\). 

C. \(6\). 

D. \(10\)

Lời giải

Ta có: \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^6 {f\left( x \right)} dx = 2 + 5 = 7\).

Vậy \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} dx = 7\).

Câu 5: Cho \(a,\,b > 0\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. \(\ln \frac{a}{b} = \ln a + \ln \frac{1}{b}\). 

B. \(\ln \frac{a}{b} = \ln a – \ln \frac{1}{b}\). 

C. \(\ln \frac{a}{b} = \ln b – \ln a\). 

D. \(\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}\).

Lời giải

Ta có \(\ln \frac{a}{b} = \ln \left( {a.\frac{1}{b}} \right) = \ln a + \ln \frac{1}{b}\).

Câu 6: Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 1\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng

A. 4. 

B. 3. 

C. 0. 

D. 1.

Lời giải

Ta có \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} – 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 2 – 2.1 = 0\).

Câu 7: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\), \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(f\left( 2 \right) = 2\). Tính \(I = \int\limits_1^2 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} \).

A. \(I = 3\). 

B. \(I = 1\). 

C. \(I = – 1\). 

D. \(I = \frac{7}{2}\).

Lời giải

\(I = \int\limits_1^2 {f'(x){\rm{d}}x} = \left. {f(x)} \right|_1^2 = f(2) – f(1) = 2 – 1 = 1\).

Câu 8: Cho \(\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 17\) và \(\int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 11\) với \(a < b < c\). Tính \(I = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

A. \(I = – 6\). 

B. \(I = 6\). 

C. \(I = 28\). 

D. \(I = – 28\).

Lời giải

Với \(a < b < c\): \(\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

\( \Rightarrow I = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}   = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}   = 17 + 11  = 28\).

Câu 9: Cho \(a < b < c\), \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 5{\mkern 1mu} \) và \(\int\limits_c^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2{\mkern 1mu} \). Tính \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x{\mkern 1mu} \).

A. \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 7\). 

B. \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = – 2\). 

C. \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 1\). 

D. \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 3\).

Lời giải

Ta có: \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_b^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x – \int\limits_c^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 3\).

Câu 10: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ {0;1} \right]\), \(f\left( 0 \right) = 1\), \(f\left( 1 \right) = – 1\), tính \(I = \int\limits_1^0 {f’\left( x \right)dx} \).

A. \(I = 2\).

B. \(I = – 2\).

C. \(I = 1\). 

D. \(I = 0\).

Lời giải

Ta có: \(I = \int\limits_1^0 {f’\left( x \right)dx} = f\left( 0 \right) – f\left( 1 \right) = 2\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tính tích phân bằng tính chất và định nghĩa. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tích phân từng phần

• Phương pháp tính tích phân bằng cách đổi biến số cơ bản

Chúc các em học tập tốt!