Phương pháp tính tích phân bằng cách đổi biến số cơ bản

Phương pháp: Cho hàm số \(f\) liên tục trên đoạn\({\rm{[}}a;b{\rm{]}}{\rm{.}}\)Giả sử hàm số \(u = u(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \({\rm{[}}a;b{\rm{]}}\) và \(\alpha \le u(x) \le \beta .\) Giả sử có thể viết \(f(x) = g(u(x))u'(x),x \in {\rm{[}}a{\rm{;}}b{\rm{],}}\) với \(g\) liên tục trên đoạn\({\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}}.\) Khi đó, ta có

\(I = \int\limits_a^b {f(x)dx = }\)\({\int\limits_a^b {g(u(x)).u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {g(u)du} } }\)

Để tính tích phân: \(I = \int\limits_a^b {g(u(x))u'(x)dx} \) ta thực hiện các bước:

. Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt \(t = u\left( x \right)  \Rightarrow dt = u'(x)dx\)

. Bước 2. Thực hiện phép đổi cận:

Với \(x = a\) thì \(t = u\left( a \right)\); \(x = b\) thì \(t = u\left( b \right)\) . (Ghi Nhớ : đổi biến phải đổi cận)

. Bước 3. Đưa về dạng \(I = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(t)dt}\) đơn giản và dễ tính hơn.

. Dấu hiệu nhận biết và cách đặt.

Dấu hiệu	Có thể đặt
Có căn \(\sqrt {f\left( x \right)}\)	\(t = \sqrt {f(x)}\)
Có ngoặc \({(ax + b)^n}\)	\(t = ax + b\)
Có mũ \({a^{f(x)}}\)	\(t = f(x)\)
Có \(\frac{{dx}}{x}\) và \(ln x\)	\(t = \ln x\) hoặc biểu thức chứa \(\ln x\)
Có \({e^x}dx\)	\(t = {e^x}\) hoặc biểu thức chứa \({e^x}\)
Có \(\sin xdx\)	\(t = \cos x\)
Có \(\cos xdx\)	\(t = \sin xdx\)
Có \(\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\)	\(t = \tan x\)
Có \(\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\)	\(t = \cot x\)
Có mẫu:\(\frac{{f’\left( x \right)dx}}{{f\left( x \right)}}\)	\(t =\)mẫu

Ví dụ 1: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x{{(1 + {x^2})}^4}} dx\)

Ⓐ. \(I = \frac{{16}}{5}\) 

Ⓑ. \(I = \frac{{31}}{{10}}\) 

Ⓒ. \(I = \frac{1}{{10}}\) 

Ⓓ. \(I = – \frac{1}{{10}}\)

Lời giải

Chọn B

Đặt \(t = 1 + {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\).

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1\);\(x = 1 \Rightarrow t = 2\)

Nên \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^4}}}{2}} dt = \frac{{31}}{{10}}\)

Ví dụ 2: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} – 1} dx} \) bằng cách đặt \(u = {x^2} – 1\), mệnh đề nào dưới đây đúng?

Ⓐ. \(I = 2\int\limits_0^3 {\sqrt u } du\) 

Ⓑ. \(I = \int\limits_1^2 {\sqrt u } du\)

Ⓒ. \(I = \int\limits_0^3 {\sqrt u } du\) 

Ⓓ.\(I = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\sqrt u } du\)

Lời giải

Chọn C

\(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} – 1} dx} \)

Đặt \(u = {x^2} – 1 \Rightarrow du = 2xdx\).

Đổi cận \(x = 1 \Rightarrow u = 0\);\(x = 2 \Rightarrow u = 3\)

Nên \(I = \int\limits_0^3 {\sqrt u } du\)

Ví dụ 3: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} \) .

Ⓐ. \(I = – \frac{1}{4}{\pi ^4}\) 

Ⓑ. \(I = – {\pi ^4}\) 

Ⓒ. \(I = 0\) 

Ⓓ. \(I = – \frac{1}{4}\)

Lời giải

Chọn C

Ta có: \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x.\sin x} dx\).

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = – \sin xdx \Leftrightarrow – dt = \sin xdx\)

Đổi cận: với \(x = 0 \Rightarrow t = 1\);với \(x = \pi \Rightarrow t = – 1\).

Vậy\(I = – \int\limits_1^{ – 1} {{t^3}} dt = \int\limits_{ – 1}^1 {{t^3}} dt = \left. {\frac{{{t^4}}}{4}} \right|_{ – 1}^1 = \frac{{{1^4}}}{4} – \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^4}}}{4} = 0\).

Câu 1: Tập hợp các giá trị của \(b\) sao cho \(\int\limits_0^b {(2x – 4){\rm{d}}x = 5} \) là:

A. \(\left\{ { – 1;4} \right\}\). 

B. \(\left\{ { – 1} \right\}\). 

C. \(\left\{ 5 \right\}\). 

D. \(\left\{ { – 1;5} \right\}\).

Lời giải

Ta có: \(\int\limits_0^b {(2x – 4){\rm{d}}x = 5 \Leftrightarrow \left. {({x^2} – 4x)} \right|_0^b} = 5 \Leftrightarrow {b^2} – 4b – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = – 1}\\{b = 5}\end{array}} \right.\).

Câu 2: Biết \(\int_0^1 {{e^{4x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{e^a} – 1}}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. \(a < b\). 

B. \(a = b\). 

C. \(a + b = 10\). 

D. \(a = 2b\).

Lời giải

Ta có: \(\int_0^1 {{e^{4x}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{4}{e^{4x}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array} = \frac{{{e^4} – 1}}{4}} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow a = b.\).

Câu 3: Biết rằng \(\int\limits_0^{\ln a} {{e^x}{\rm{d}}x} = 1\), khi đó giá trị của \(a\) là:

A. \(a = 1\). 

B. \(a = 3\). 

C. \(a = 2\). 

D. \(a = 4\).

Lời giải

Ta có \(\int {{e^x}{\rm{d}}x} = {e^x} + C\). Do đó: \(\int\limits_0^{\ln a} {{e^x}{\rm{d}}x} = \left. {{e^x}} \right|_0^{\ln a} = {e^{\ln a}} – {e^0} = a – 1 = 1 \Rightarrow a = 2\).

Câu 4: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {2{e^x}dx} \).

A. \(I = {e^2} – 2e\). 

B. \(I = 2e\). 

C. \(I = 2e + 2\). 

D. \(I = 2e – 2\).

Lời giải

Ta có \(I = \int\limits_0^1 {2{e^x}{\rm{d}}x}   = \left. {2{e^x}} \right|_0^1  = 2e – 2\).

Câu 5: Cho \(\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a\). Tìm \(a\).

A. \(\frac{5}{2}\). 

B. \(5\). 

C. \(2\). 

D. \(\frac{2}{5}\).

Lời giải

Ta có: \(\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a \Leftrightarrow \left. {\ln \left| x \right|} \right|_2^5 = \ln a \Leftrightarrow \ln 5 – \ln 2 = \ln a \Leftrightarrow \ln \frac{5}{2} = \ln a \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}\).

Câu 6: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{4}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} \).

A. \(4\ln 3\). 

B. \(4\ln 2\).

C. \(I = 2\ln 3\). 

D. \(2\ln 2\).

Lời giải

Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{4}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} = 2\ln \left| {2x + 1} \right||_0^1 = 2\ln 3\).

Câu 7: Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}} \) bằng?

A. \(\cot \frac{\pi }{3} – \cot \frac{\pi }{4}\). 

B. \(\cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}\). 

C. \( – \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}\). 

D. \( – \cot \frac{\pi }{3} – \cot \frac{\pi }{4}\).

Lời giải

Ta có \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}}   = – \cot x\left| \begin{array}{l}^{\frac{\pi }{3}}\\_{\frac{\pi }{4}}\end{array} \right.  = – \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}\).

Câu 8: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ – x}}{\rm{d}}x} \).

A. \( – \frac{1}{2}\). 

B. \(\frac{1}{2}\). 

C. \(2\). 

D. \(0\).

Lời giải

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ – x}}{\rm{d}}x}   = \left. { – {e^{ – x}}} \right|_0^{\ln 2}  = \frac{1}{2}\).

Câu 9: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \(\int {{\rm{d}}x} = x + 2C\)(\(C\) là hằng số). 

B. \(\int {{x^n}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) (\(C\) là hằng số; \(n \in \mathbb{Z}\)).

C. \(\int {0{\rm{d}}x} = C\)(\(C\) là hằng số). 

D. \(\int {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = {{\rm{e}}^x} – C\) (\(C\) là hằng số).

Lời giải

Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện \(n \ne – 1\).

Câu 10: Cho miền phẳng \(\left( D \right)\) giới hạn bởi \(y = \sqrt x \), hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 2\) và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( D \right)\) quanh trục hoành.

A. \(3\pi \). 

B. \(\frac{{3\pi }}{2}\). 

C. \(\frac{{2\pi }}{3}\). 

D. \(\frac{3}{2}\).

Lời giải

\(V = \pi \int\limits_1^2 {xdx}   = \left. {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right|_1^2 = \frac{{3\pi }}{2}\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là toàn bộ nội dung Phương pháp tính tích phân bằng cách đổi biến số cơ bản. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tính tích phân hàm ẩn đổi biến số cơ bản

• Chuyên đề tính tích phân bằng tính chất và định nghĩa

Chúc các em học tập tốt!