YOMEDIA

Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập trang 207

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài tập Toán 12 nâng cao Chương 4 Luyện tập trang 207 được hoc247 biên soạn và tổng hợp, nội dung bám sát theo chương trình SGK Giải tích 12 nâng cao giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn tập kiến thức hiệu quả hơn. 

Bài 32 trang 207 SGK Toán 12 nâng cao

Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính φ và φ theo các lũy thừa của  và 

Hướng dẫn giải:

Ta có: cos4φ + isin4φ = (cosφ + isinφ)4

\(\begin{array}{l}
 = co{s^4}\varphi  + 4(co{s^3}\varphi )(isin\varphi ) + 6(co{s^2}\varphi )({i^2})si{n^2}\varphi  + 4(cos\varphi )({i^3}si{n^3}\varphi ) + {i^4}si{n^4}\varphi \\
 = co{s^4}\varphi  - 6co{s^2}\varphi si{n^2}\varphi  + si{n^4}\varphi  + (4co{s^3}\varphi sin\varphi  - 4cos\varphi si{n^3}\varphi )i.
\end{array}\)

Từ đó: 

\(\begin{array}{l}
cos4\varphi  = co{s^4}\varphi  - 6co{s^2}\varphi si{n^2}\varphi  + si{n^4}\varphi \\
sin4\varphi  = 4co{s^3}\varphi sin\varphi  - 4cos\varphi si{n^3}\varphi 
\end{array}\)


Bài 33 trang 207 SGK Toán 12 nâng cao

Tính \({(\sqrt 3  - i)^6};{\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}};{\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 - 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
{(\sqrt 3  - i)^6} = {\left[ {2cos\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + isin\left( { - \frac{\pi }{6}} \right)} \right]^6}\\
 = {2^6}[cos( - \pi ) + isin( - \pi )] =  - {2^6}
\end{array}\)

\(\frac{i}{{1 + i}} = \frac{{1 + i}}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {cos\frac{\pi }{4} + isin\frac{\pi }{4}} \right)\) nên 

\(\begin{array}{l}
{\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}} = \frac{1}{{{2^{1002}}}}\left( {cos\frac{{2004\pi }}{4} + isin\frac{{2004\pi }}{4}} \right)\\
 = \frac{1}{{{2^{1002}}}}(cos\pi  + isin\pi ) =  - \frac{1}{{{2^{1002}}}}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 - 2i\sqrt 3 }} = \frac{{\left( {5 + 3i\sqrt 3 } \right)\left( {1 + 2i\sqrt 3 } \right)}}{{1 + 12}} = \frac{{ - 13 + 13i\sqrt 3 }}{{13}} =  - 1 + i\sqrt 3 \\
 = 2\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right)
\end{array}\)

Do đó: \({\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 - 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}} = {2^{21}}(cos14\pi  + isin14\pi ) = {2^{21}}\)


Bài 34 trang 207 SGK Toán 12 nâng cao

Cho số phức \(w =  - \frac{1}{2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\). Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để wm là số ảo?

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(w =  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = cos\frac{{4\pi }}{3} + isin\frac{{4\pi }}{3}\)

Suy ra \({w^n} = cos\frac{{4\pi n}}{3} + isin\frac{{4\pi n}}{3}\)

wn là số thực \( \Leftrightarrow sin\frac{{4n\pi }}{3} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4n\pi }}{3} = k\pi (k \in Z)\)

<=> 4n = 3k <=> n chia hết cho 3 (n nguyên dương)

wm (m nguyên dương) là số ảo \( \Leftrightarrow cos\frac{{4n\pi }}{3} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4n\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in Z)\)

<=> 8m = 6k + 3 (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).

Vậy không có số nguyên dương m để  wm là số ảo.


Bài 35 trang 207 SGK Toán 12 nâng cao

Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:

a) |z| = 3 và một acgumen của iz là \(\frac{{5\pi }}{4}\)

b) \(|z| = \frac{1}{3}\) và một acgumen của \(\frac{{\overline z }}{{1 + i}}\) là \(\frac{{ - 3\pi }}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(i = cos\frac{\pi }{2} + isin\frac{\pi }{2}\) nên acgumen của i là \(\frac{\pi }{2}\)  Một acgumen của \(z = \frac{{iz}}{i}\) là \(\frac{{5\pi }}{4} - \frac{\pi }{2} = \frac{{3\pi }}{4}\)
 Vậy \(z = 3\left( {cos\frac{{3\pi }}{4} + isin\frac{{3\pi }}{4}} \right)\) từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là \(\sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right)\) và \( - \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right) = \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{11\pi }}{8} + i\sin \frac{{11\pi }}{8}} \right)\)

Câu b:

Gọi φ là acgumen của z là -φ  là một acgumen của \(\overline z \)

\(1 + i = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {cos\frac{\pi }{4} + isin\frac{\pi }{4}} \right)\) có một acgumen là π/4 nên một acgumen của \(\frac{{\overline z }}{{1 + i}}\) là \( - \varphi  - \frac{\pi }{4}\). Theo đề bài ta có: 
\( - \varphi  - \frac{\pi }{4} =  - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in Z) \Rightarrow \varphi  = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in Z)\) 

Vậy \(z = \frac{1}{3}\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} \right)\) 

Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)\) và \( - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{{5\pi }}{4} + i\sin \frac{{5\pi }}{4}} \right)\)


Bài 36 trang 207 SGK Toán 12 nâng cao

Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

\(\begin{array}{l}
a)1 - i\tan \frac{\pi }{5}\\
b)tan\frac{{5\pi }}{8} + i\\
c)1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi \left( {\varphi  \in R,\varphi  \ne k2\pi ,k \in Z} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(1 - i\tan \frac{\pi }{5} = 1 - i\frac{{\sin \frac{\pi }{5}}}{{\cos \frac{\pi }{5}}} = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left( {\cos \frac{\pi }{5} - isin\frac{\pi }{5}} \right) = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left[ {cos\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)} \right]\)

Câu b:

\(tan\frac{{5\pi }}{8} + i = \frac{{ - 1}}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left( { - \sin \frac{{5\pi }}{8} - i\cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)\), (\({\frac{{5\pi }}{8} < 0}\))

\( = \frac{1}{{\cos \frac{{3\pi }}{8}}}\left( { - co{\mathop{\rm s}\nolimits} \frac{\pi }{8} + isin\frac{\pi }{8}} \right) = \frac{1}{{\cos \frac{{3\pi }}{8}}}\left( {co{\mathop{\rm s}\nolimits} \frac{{7\pi }}{8} + isin\frac{{7\pi }}{8}} \right)\)

Câu c:

\(1 - cos\varphi  - isin\varphi  = 2si{n^2}\frac{\varphi }{2} - 2isin\frac{\varphi }{2}cos\frac{\varphi }{2} = 2sin\frac{\varphi }{2}\left[ {sin\frac{\varphi }{2} - icos\frac{\varphi }{2}} \right]\)

Khi \(sin\frac{\varphi }{2} > 0\) thì \({\kern 1pt} 1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  = \left( {2\sin \frac{\varphi }{2}} \right)\left[ {\cos \left( {\frac{\varphi }{2} - \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\varphi }{2} - \frac{\pi }{2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm

Khi \(sin\frac{\varphi }{2} < 0\) thì \({\kern 1pt} 1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  = \left( { - 2\sin \frac{\varphi }{2}} \right)\left[ {\cos \left( {\frac{\varphi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\varphi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm

Khi \(sin\frac{\varphi }{2} = 0\) thì \({\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  = 0 = 0\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right){\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} (\alpha  \in R\) tùy ý )

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 4 Luyện tập trang 207 được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!

 

 

 

YOMEDIA