Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập trang 199

Tìm nghiệm phức phương trình \(z + \frac{1}{z} = k\) trong các trường hợp sau:

a) k = 1              

b) \(k = \sqrt 2 \)                   

c) k = 2i

Hướng dẫn giải:

\(z + \frac{1}{z} = k\) 

Ta có: \(z + \frac{1}{z} = k \Leftrightarrow {z^2} - kz + 1 = 0\)

Phương trình có hai nghiệm là \(z = \frac{{k \pm \delta }}{2}\) trong đó δ là một căn bậc hai của Δ = k2 − 4

Câu a:

Với k = 1 thì Δ = −3 khi đó \(z = \frac{{1 \pm \sqrt 3 i}}{2}\)

Câu b:

Với \(k = \sqrt 2 \) thì Δ = −2 khi đó \(z = \frac{{\sqrt 2  \pm \sqrt 2 i}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 \pm i} \right)\)

Câu c:

Với k = 2i thì Δ = −8 khi đó \(z = \frac{{2i \pm 2\sqrt 2 i}}{2} = \left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)i\)

---

Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

\(\begin{array}{l}
a){z^3} + 1 = 0\\
b){z^4} - 1 = 0\\
c){z^4} + 4 = 0\\
d)8{z^4} + 8{z^3} = z + 1
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\({z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow (z + 1)({z^2} - z + 1) = 0\)

Nghiệm của z + 1 = 0 là z1 = -1

\(\begin{array}{l}
{z^2} - z + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} =  - \frac{3}{4} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = {z_2}\\
z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = {z_3}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - 1;\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i;\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
{z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow ({z^2} - 1)({z^2} + 1) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z^2} - 1 = 0\\
{z^2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z =  \pm 1\\
z =  \pm i
\end{array} \right.
\end{array}\)

Phương trình có 4 nghiệm S = {i; -i; 1; -1}

Câu c:

\({z^4} + 4 = 0 \Leftrightarrow ({z^2} + 2i)({z^2} - 2i) = 0\)

Nghiệm của z2 + 2i = 0 là các căn bậc hai của -2i, đó là z1=1−i, z2=−1+i

Nghiệm của z2 − 2i = 0 là các căn bậc hai của 2i, đó là z3 = 1 + i, z4 = −1 − i

Vậy z4 + 4 = 0 có bốn nghiệm z1, z2, z3, z4

Câu d:

\(\begin{array}{l}
8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow (z + 1)(2z - 1)(4{z^2} + 2z + 1) = 0
\end{array}\)

Nghiệm của z + 1 = 0 là z1 = −1

Nghiệm của 2z − 1 = 0 là z2 = 1/2

Nghiệm của 4z2 + 2z + 1 = 0 hay \(\left( {2z + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\) là 

\({z_3} =  - \frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}i,{z_4} =  - \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\)

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm  z1, z2, z3, z4 

---

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z):

                z2 + bz + c = 0 

nhận z = 1 + i làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):

                      z3 + az2 + bz + c = 0

nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 là nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

1 + i là một nghiệm của phương trình z2 + bz + c = 0 khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}
{(1 + i)^2} + b(1 + i) + c = 0 \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0\\
 \Leftrightarrow b + c + (2 + b)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b + c = 0\\
2 + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b =  - 2\\
c = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Câu b:

1 + i là một nghiệm của z3 + az2 + bz + c = 0  khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}
{(1 + i)^3} + a{(1 + i)^2} + b(1 + i) + c = 0 \Leftrightarrow (b + c - 2) + (2 + 2a + b)i = 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b + c - 2 = 0(1)\\
2a + b + 2 = 0(2)
\end{array} \right.
\end{array}\)

2 là nghiệm của z3 + az2 + bz + c = 0 khi và chỉ khi 8 + 4a + 2b + c = 0 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b + c = 2\\
2a + b =  - 2\\
4a + 2b + c =  - 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 4\\
b = 6\\
c =  - 4
\end{array} \right.\)

---

a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực φ, ta có (cosφ + isinφ)2=cos2φ + isin2φ.

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2φ + isin2φ. Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

b) Tìm các căn bậc hai của \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - i} \right)\) bằng hai cách nói ở câu a).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với mọi φ ta có: (cosφ + isinφ)2 = cos2φ−sin2φ+(2sinφcosφ)i = cos2φ+isin2φ

Vậy các căn bậc hai của cos2φ + isin2φ là ±(cosφ + isinφ)

Theo cách giải trong bài học, để tìm căn bậc hai của cos2φ + isin2φ ta giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = cos2\varphi \\
2xy = sin2\varphi 
\end{array} \right.\)

Rõ ràng hệ có các nghiệm (cosφ, sinφ), (−cosφ, −sinφ) do đó ±(cosφ + isinφ) là hai căn bậc hai của cos2φ + isin2φ. Ta biết rằng chỉ có hai căn như thế nên đó là tất cả các căn bậc hai cần tìm

Câu b:

\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 - i) = cos\frac{\pi }{4} - isin\frac{\pi }{4} = cos\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + isin\left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\) theo câu a, \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 - i)\) có hai căn bậc hai là \( \pm \left( {cos\left( { - \frac{\pi }{8}} \right) + isin\left( { - \frac{\pi }{8}} \right)} \right) =  \pm \left( {cos\frac{\pi }{8} - isin\frac{\pi }{8}} \right)\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 4 Luyện tập trang 199 được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!