Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 9 Bất phương trình mũ và logarit

Giải các bất phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
a){2^{3 - 6x}} > 1\\
b){16^x} > 0,125
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\({2^{3 - 6x}} > 1\Leftrightarrow {2^{3 - 6x}} > {2^0} \Leftrightarrow 3 - 6x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\)

Câu b:

\({16^x} > 0,125 \Leftrightarrow {2^{4x}} > \frac{1}{8} \Leftrightarrow {2^{4x}} > {2^{ - 3}} \Leftrightarrow x >  - \frac{3}{4}\)

Vậy \(S = \left( { - \frac{3}{4}; + \infty } \right)\)

---

Giải các bất phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
a)lo{g_5}(3x - 1) < 1\\
b)lo{g_{\frac{1}{3}}}(5x - 1) > 0\\
c)lo{g_{0,5}}({x^2} - 5x + 6) \ge  - 1\\
d)lo{g_3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le 0.
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
lo{g_5}(3x - 1) < 1 \Leftrightarrow lo{g_5}(3x - 1) < lo{g_5}5\\
 \Leftrightarrow 0 < 3x - 1 < 5 \Leftrightarrow \frac{1}{3} < x < 2
\end{array}\)

Vậy S = {1/3; 2}

Câu b:

\(\begin{array}{l}
lo{g_{\frac{1}{3}}}(5x - 1) > 0 \Leftrightarrow lo{g_{\frac{1}{3}}}(5x - 1) > lo{g_{\frac{1}{3}}}1\\
 \Leftrightarrow 0 < 5x - 1 < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{1}{5};\frac{2}{5}} \right\}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
lo{g_{0,5}}({x^2} - 5x + 6) \ge  - 1 \Leftrightarrow lo{g_{0,5}}({x^2} - 5x + 6) \ge lo{g_{0,5}}2\\
 \Leftrightarrow 0 < {x^2} - 5x + 6 \le 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 5x + 6 > 0\\
{x^2} - 5x + 4 \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 0 < {x^2} - 5x + 6 \le 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 5x + 6 > 0\\
{x^2} - 5x + 4 \le 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 2\,,x > 3\\
1 \le x \le 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x < 2\) hoặc \(3 < x \le 4\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
lo{g_3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le 0 \Leftrightarrow lo{g_3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le lo{g_3}1\\
 \Leftrightarrow 0 < \frac{{1 - 2x}}{x} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 - 2x}}{x} > 0\\
\frac{{1 - 2x}}{x} - 1 \le 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x < \frac{1}{2}\\
\frac{{1 - 3x}}{x} \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x < \frac{1}{2}\\
x \le 0;x \ge \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le x < \frac{1}{2}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right)\)

---

Giải bất phương trình:

\(\begin{array}{l}
a)log_{0,5}^2x + lo{g_{0,5}}x - 2 \le 0\\
b){2^x} + {2^{ - x + 1}} - 3 < 0
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện: x > 0

Đặt t = log_0,5x ta có:

\(\begin{array}{l}
{t^2} + t - 2 \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le t \le 1\\
 \Leftrightarrow  - 2 \le lo{g_{0,5}}x \le 1\\
 \Leftrightarrow {(0,5)^{ - 2}} \ge x \ge {(0,5)^1}\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 4
\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ {\frac{1}{2};4} \right]\)

Câu b:

Đặt t = 2^x (t > 0) ta có:

\(\begin{array}{l}
t + \frac{2}{t} - 3 < 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 < 0(dot > 0)\\
 \Leftrightarrow 1 < t < 2 \Leftrightarrow 1 < {2^x} < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 1
\end{array}\)

Vậy S = (0; 1)

---

Giải bất phương trình:

\(\begin{array}{l}
a){\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\\
b) {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
{\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow 0 < {x^2} + x - 2 < x + 3\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + x - 2 > 0\\
{x^2} - 5 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x <  - 2;x > 1\\
 - \sqrt 5  < x < \sqrt 5 
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = ( - \sqrt 5 ; - 2) \cup (1;\sqrt 5 )\)

Câu b:

Với điều kiện 2 – x > 0 và x² − 6x + 5 > 0 ta có:

\(\begin{array}{l}
{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}({x^2} - 6x + 5) \ge  - lo{g_3}{(2 - x)^2}\\
 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}({x^2} - 6x + 5) \ge  - lo{g_{\frac{1}{3}}}{(2 - x)^2}\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 \le {(2 - x)^2} \Leftrightarrow 2x - 1 \ge 0
\end{array}\)

Do đó bất phương trình đã cho tương đương với:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 6x + 5 > 0\\
2 - x > 0\\
2x - 1 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 1,x > 5\\
x < 2\\
x \ge \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x < 1\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 9 Bất phương trình mũ và logarit được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!