Ôn thi HSG Toán lớp 9 phần Đại số

ÔN THI HSG TOÁN LỚP 9 PHẦN ĐẠI SỐ

 

Câu 1:  Cho biểu thức

\(A = \left( {1 - \frac{{a - 3\sqrt a }}{{a - 9}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  + 3}} + \frac{{\sqrt a  - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a  - 6}}} \right)\)

a) Rút gọn A.

b. Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên

Hướng dẫn giải:

a) Rút gọn A.

 Điều kiện: \(a \ge 0;a \ne 4\) 

\(A = \left( {1 - \frac{{\sqrt a (\sqrt a  - 3)}}{{\left( {\sqrt a  + 3} \right)\left( {\sqrt a  - 3} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  + 3}} + \frac{{\sqrt a  - 3}}{{2 - \sqrt a }} + \frac{{\left( {3 - \sqrt a } \right)\left( {3 + \sqrt a } \right)}}{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  + 3} \right)}}} \right)\)  

\(A = \left( {1 - \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  + 3}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  + 3}} + \frac{{\sqrt a  - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{3 - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 2}}} \right)\) 

\(A = \frac{3}{{\sqrt a  + 3}}:\frac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  + 3}}\)

\(A = \frac{3}{{\sqrt a  - 2}}\)

b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên.

 Giả sử \(a \in Z\). Để \(A \in Z \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt a  - 2}} \in Z\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt a  - 2} \right)\) là ước của 3

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt a  - 2 = 1\\\sqrt a  - 2 =  - 1\\\sqrt a  - 2 = 3\\\sqrt a  - 2 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt a  = 3 \Leftrightarrow a = 9\\\sqrt a  = 1 \Leftrightarrow a = 1\\\sqrt a  = 5 \Leftrightarrow a = 25\\\sqrt a  =  - 1(l)\end{array} \right.\) 

Câu 2:  Giải phương trình: \({x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + 1{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x + 5} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)

Hướng dẫn giải:

\({x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + 1{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x + 5} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)

\({x^2} + 1{\rm{ }} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x + 5} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)

\({x^2} + 1{\rm{ }} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} - {\rm{ }}x\sqrt {{x^2} + 1}  - {\rm{ }}5\sqrt {{x^2} + 1}  = 0\)

 \(\sqrt {{x^2} + 1} (\sqrt {{x^2} + 1}  - x) + 5(x - \sqrt {{x^2} + 1} ) = 0\)

 \((\sqrt {{x^2} + 1}  - x)(\sqrt {{x^2} + 1}  - {\rm{ }}5){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\((\sqrt {{x^2} + 1}  - x) = {\rm{ }}0\)hoặc \((\sqrt {{x^2} + 1}  - {\rm{ }}5){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

 hoặc  

\({x^2} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {x^2}\)  (không có x thỏa mãn), hoặc \({x^2} + {\rm{ }}1 = {\rm{ }}25\)

\({x^2} = {\rm{ }}24\) \(\sqrt {{x^2} + 1}  = 5\)

\(x{\rm{ }} =  \pm \sqrt {24} \)

Vậy nghiệm của PT là \(x{\rm{ }} =  \pm \sqrt {24} \)

Câu 3: Giải phương trình: \(6{x^4} - 5{x^3} - 38{x^2} - 5x + 6 = 0\).

Hướng dẫn giải:

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của phương trình cho \({x^2}\) ta được:

\(6{x^2} - 5x - 38 - \frac{5}{x} + \frac{6}{{{x^2}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow 6({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}) - 5(x + \frac{1}{x}) - 38 = 0\)

Đặt \(y = x + \frac{1}{x}\)   thì: \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {y^2} - 2\)

Ta được pt: \(6{y^2}-{\rm{ }}5y{\rm{ }}-{\rm{ }}50{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {3y{\rm{ }}-{\rm{ }}10} \right)\left( {2y{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Do đó:  \(y = \frac{{10}}{3}\) và  \(y =  - \frac{5}{2}\)

* Với  \(y = \frac{{10}}{3}\) thì: \(x + \frac{1}{x} = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow 3{x^2} - 10x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{1}{3}\\{x_2} = 3\end{array} \right.\)

* Với \(y =  - \frac{5}{2}\) thì: \(x + \frac{1}{x} =  - \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_3} =  - \frac{1}{2}\\{x_4} =  - 2\end{array} \right.\)

Câu 4:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{{3{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 2x + 1}}\)
2. Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

Hướng dẫn giải:

a. Viết được \(A = \frac{{2{x^2} - 4x + 2 + {x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} - 2x + 1}} = 2 + \frac{{{{(x - 2)}^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}} \ge 2\) 

Lập luận: min A = 2 khi  \(x - 2 = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}2\)

b. Biến đổi 

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2bc + 2ca\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{a^2} - 2ab + {b^2} + {b^2} - 2bc{\rm{ }} + {c^2} + {c^2} - 2ca + {a^2} \ge 0\)

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge {\rm{ }}0\)

Lập luận  ⇒ khẳng định.

Để xem tiếp nội dung của tài liệu các em có thể xem Online hoặc đăng nhập Hoc247.net để tải về máy.

Các em có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu tham khảo Toán 9 trên Hoc247.net.