Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Phan Bội Châu

TRƯỜNG THPT PHAN BỘI CHÂU

ĐỀ THI HSG LỚP 12 MÔN TOÁN Thời gian: 180 phút

 

Câu 1 (2 điểm)

1. Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M.

2. Tìm m để hàm số \(y = 9x + m\sqrt {{x^2} + 9} \) có cực đại.

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình \({\sin ^{2012}}x + {\cos ^{2012}}x = \frac{1}{{{2^{1005}}}}\)

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} - 1} \\ {x^2} + {y^2} - xy = 1 \end{array} \right.\)

Câu 3 (2 điểm)

1. Chứng minh \(\tan x + \sin x \ge \frac{9}{2}x + \frac{3}{2}(\sqrt 3 - \pi ),\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Từ đó suy ra trong mọi tam giác nhọn ABC ta có \(\tan A + \tan B + \tan C + \sin A + \sin B + \sin C \ge \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).

2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {x + 4} + \sqrt {4 - x} - \sqrt {16 - {x^2}} \).

Câu 4 (3 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = \(a\sqrt 3 \) và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

a) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.

b) M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho \(\widehat {MAN} = {45^0}\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN.

Câu 5 (1 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Chứng minh

\(\frac{{{a^2} + ab + 1}}{{\sqrt {{a^2} + 3ab + {c^2}} }} + \frac{{{b^2} + bc + 1}}{{\sqrt {{b^2} + 3bc + {a^2}} }} + \frac{{{c^2} + ca + 1}}{{\sqrt {{c^2} + 3ca + {b^2}} }} \ge \sqrt 5 (a + b + c)\)

ĐÁP ÁN

Câu	Ý	Nội dung	Điểm
I	1	CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M	1,00
		\(M \in (C) \Rightarrow M\left( {a;\frac{{a - 2}}{{a + 1}}} \right),a \ne - 1\) \(y' = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} \Rightarrow y'(a) = \frac{3}{{{{(a + 1)}^2}}}\)	0,25
		Tiếp tuyến của (C) tại M có pt \(y = \frac{3}{{{{(a + 1)}^2}}}(x - a) + \frac{{a - 2}}{{a + 1}}\) \((\Delta)\) Tiệm cận đứng \({\Delta _1}\) có phương trình x = -1 Tiệm cận ngang \({\Delta _2}\) có phương trình y = 1 ⇒ I(-1;1)	0,25
		\(\Delta \cap {\Delta _1} = A \Rightarrow A\left( { - 1;\frac{{a - 5}}{{a + 1}}} \right)\), \(\Delta \cap {\Delta _2} = B \Rightarrow B\left( {2a + 1;1} \right)\)	0,25
		\({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}\left| {\frac{{a - 5}}{{a + 1}} - 1} \right|.\left| {2a + 2} \right| = \frac{1}{2}.\frac{6}{{\left| {a + 1} \right|}}.2\left| {a + 1} \right| = 6\) (không phụ thuộc vào a, đpcm)	0,25
	2	Tìm m để hàm số \(y = 9x + m\sqrt {{x^2} + 9} \) có cực đại	1,00
		TXĐ: R, \(y' = 9 + \frac{{mx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }},y'' = \frac{{9m}}{{({x^2} + 9)\sqrt {{x^2} + 9} }}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow 9\sqrt {{x^2} + 9} + mx = 0 \Leftrightarrow 9\sqrt {{x^2} + 9} = - mx\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} mx < 0\\ 81({x^2} + 9) = {m^2}{x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} mx < 0\\ ({m^2} - 81){x^2} = 81.9 \end{array} \right.\)(I)	0,25
		TH 1. \({m^2} \le 81 \Leftrightarrow - 9 \le m \le 9 \Rightarrow \left| m \right|.\left| x \right| \le 9\left| x \right| < 9\sqrt {{x^2} + 9} (\forall x)\) nên \(y' = \frac{{9\sqrt {{x^2} + 9} + mx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} > 0,\forall x\) suy ra hàm số đồng biến trên R, không có cực trị.	0,25
		TH 2. \(m > 9 \Rightarrow (I) \Leftrightarrow {x_1} = \frac{{ - 27}}{{\sqrt {{m^2} - 81} }}\) \(y''({x_1}) = \frac{{9m}}{{(x_1^2 + 9)\sqrt {x_1^2 + 9} }} > 0 \Rightarrow {x_1}\) là điểm cực tiểu \( \Rightarrow m > 9\) loại	0,25
		TH 3. \(m < - 9 \Rightarrow (I) \Leftrightarrow {x_2} = \frac{{27}}{{\sqrt {{m^2} - 81} }}\) \(y''({x_2}) = \frac{{9m}}{{(x_2^2 + 9)\sqrt {x_2^2 + 9} }} < 0 \Rightarrow {x_2}\) là điểm cực đại. Vậy hàm số có cực đại ⇔ m < - 9	0,25

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1. (4,0 điểm).

Cho hàm số \(y = {x^3} - \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị là (C).

Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số: \(g(x) = \frac{{4{x^2} + 3}}{{{x^4} + 1}}\).

Bài 2. (5,0 điểm).

Giải các phương trình sau trên tập số thực R:

1/ cosx + \(\sqrt3\) (sin2x + sinx) – 4cos2x.cosx – 2cos² x + 2 = 0.

2/ \({x^4} - 2{x^3} + x - \sqrt {2\left( {{x^2} - x} \right)} = 0\).

Bài 3. (5,0 điểm).

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là một số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’ = 2a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C.

1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối chóp B.ACA’.

2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích lớn nhất.

3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng cách giữa AB và A’C.

Bài 4. (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4); C(5;–1) và đường thẳng \(\Delta\): 2x – 3y + 12 = 0. Tìm điểm M \(\in \Delta\) sao cho: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.

Bài 5. (3 điểm).

Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng \(\frac{{\left( {m + 2010} \right)!}}{{m!2011!}}\) là một số nguyên.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1: (6 điểm)

1. Cho phương trình: 1^{1 + 2sinx} - 3.2^{1 + sinx} = m - 4 (1) (m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với m = 0.

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

2. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^6} + {y^6} = 1\\ {x^5} + {y^5} = 1 \end{array} \right.\)

Câu 2: (5 điểm)

1. Tìm GTLN của hàm số: y = |-x³ + 3x² +72x - 90| trên đoạn [-7;7].

2. Cho hàm số y = \(\frac14\)x⁴ -2x² + 3 có đồ thị là (C). Tính diện tích tam giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị (C).

Câu 3: (6 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Chứng minh rằng với mọi giá trị của t đường thẳng (d) có phương trình: xcost + ysint + sint - 2 cost - 3 = 0 (t là tham số) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

2. Cho lăng trụ đứng ABC.A₁B₁C₁ có AB = a, AC = 2a, AA₁ = \(2a\sqrt5\) và góc BAC = 120^o. Gọi M là trung điểm của CC₁. Chứng minh MB \(\bot\) MA₁ và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A₁BM).

Câu 4: (1.5 điểm)

Cho đa thức f(x) = xⁿ +a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + a₁x + 1 có các hệ số không âm và có n nghiệm thực. Chứng minh f(x) \(\ge\) 3ⁿ. 

Câu 5: (1.5 điểm)

Cho hàm số: y = x³ - 2009x có đồ thị là (C). M₁ là điểm trên  (C) có hoành độ x₁ = 1. Tiếp tuyến của (C) tại M₁ cắt (C) tại điểm M₂ khác M₁, tiếp tuyến của (C) tại M₂ cắt (C) tại điểm M₃ khác M₂, tiếp tuyến của (C) tại điểm M_n-1 cắt (C) tại điểm M_n khác Mn-1 (n = 4; 5;…), gọi (x_n;y_n) là tọa độ điểm M_n.

Tìm n để : 2009x_n +y_n +2²⁰¹³ = 0

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1: (4 điểm)

1. Cho hàm số \(y = \frac{{3x - 2m}}{{mx + 1}}\) với m là tham số. Chứng minh rằng với mọi m khác 0, đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng d: y = 3x - 3m tại 2 điểm phân biệt A, B. Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C, D sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 lần diện tích tam giác OCD.

2. Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Chứng minh rằng các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà qua đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đều nằm trên đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 2.

Câu 2: (4 điểm)

1. Giải phương trình sau trên tập số thực: 15x.5^x = 5^x+1 + 27x + 23

2. Giải bất phương trình sau trên tập số thực: \({\log _2}\frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} \le 2{x^2} - 6x + 2\)

Câu 3: (6 điểm)

1. Cho tứ diện S.ABC có AB = AC = a, BC = a/2, \(SA=a\sqrt3\) (a > 0). Biết góc SAB = 30^o và góc SAC = 30o. Tính thể tích khối tứ diện theo a.

2. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có độ dài một cạnh lớn hơn 1, độ dài các cạnh còn lại đều không lớn hơn 1 thì thể tích của khối tứ diện đó không lớn hơn 1/8.

Câu 4: (4 điểm)

Tính các tích phân:

1. \(I = \int\limits_2^3 {\frac{{\sqrt {x + 2} }}{{x + \sqrt {{x^2} - 4} }}} dx\)

2. \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \frac{{{{\left( {\cos x + 1} \right)}^{\sin x + 1}}}}{{\sin x + 1}}dx} \)

Câu 5: (2 điểm)

Cho ba số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{1}{{2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 1} }} - \frac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1: ( 5,0 điểm )

a) Giải phương trình sau trên tập số thực: \(x + 1 = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {\sqrt {x + 1} + 2} \).

b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + xy + y = 8\\ xy\left( {{y^2} + xy + x + y} \right) = 12 \end{array} \right.\).

Câu 2: ( 5,0 điểm )

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;2), B(4;3).

a) Tìm trên trục hoành điểm M sao cho góc AMB = 45^o.

b) Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 6m, trọng tâm là G. Một đường thẳng \(\Delta\) đi qua G, \(\Delta\) cắt các đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm M và N sao cho 2AM = 3AN. Tính diện tích tam giác AMN.

Câu 3: ( 4,0 điểm )

Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u₁ = 1 và u_n+1 = u_n + 2ⁿ với mọi \(n \ge 1\).

a) Chứng minh rằng: u_n = 2ⁿ - 1.

b) Tính tổng S = u₁ +u₂ +u₃ +.. + u_n theo n.

Câu 4: ( 3,0 điểm )

Cho các số thực dương a, b, c

a. Chứng minh rằng: \(\left( {2 + {a^2}} \right)\left( {2 + {b^2}} \right) \ge \frac{9}{{16}}\left[ {2{{\left( {a + b} \right)}^2} + 7} \right]\).

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{{\left( {2 + {a^2}} \right)\left( {2 + {b^2}} \right)\left( {2 + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {3 + a + b + c} \right)}^2}}}\)

Câu 5: ( 3,0 điểm )

Cho hàm số y = \(\frac13\)mx³ + (m-1)x² + (4-3m)x + 1 có đồ thị là (C_m), m là tham số. Tìm các giá trị của m để trên (C_m) có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của (C_m) tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d: x + 2y = 0.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm 2021 có đáp án Trường THPT Phan Bội Châu. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Hà Huy Tập

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Phan Đình Phùng