Bài tập 21 trang 68 SGK Toán 8 Tập 2

a) Ta có \(AD\) là đường phân giác của \(∆ABC\) (gt) nên

\(\dfrac{{B{\rm{D}}}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (Tính chất đường phân giác của tam giác)
\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}\) (do hai tam giác có chung chiều cao từ đỉnh A)

Nên \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}= \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{m}{n}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} = {n \over m} \cr
& \Rightarrow {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} + 1 = {n \over m} + 1 \cr
& \Rightarrow {{{S_{ADC}} + {S_{ABD}}} \over {{S_{ABD}}}} = {{n + m} \over m} \cr} \)

\(\Rightarrow \dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}+S_{ABD}}= \dfrac{m}{n+m}\)

hay \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}= \dfrac{m}{n+m}\)

\(\Rightarrow {S_{AB{\rm{D}}}} = \dfrac{{mS}}{{n + m}}\)

Vì \(AM\) là trung tuyến của \(∆ABC\) (gt) \(\Rightarrow S_{ABM}= \dfrac{1}{2}S_{ABC}\).

Có \(AB < AC (m<n)\) và AD là đường phân giác, AM là đường trung tuyến kẻ từ A nên AD nằm giữa AB và AM.

\(\Rightarrow S_{ADM}= S_{ABM}- S_{ABD}\)

\( \Rightarrow S_{ADM} = \dfrac{1}{2}S -\dfrac{m}{n+m}S \)\(\,= \dfrac{S(m+n-2m)}{2(m+n)}\)

\(S_{ADM}= \dfrac{S(n -m)}{2(m+n)}\) (với \(n>m\))

b) Khi \(n = 7cm, m = 3cm\) ta có:

\({S_{A{\rm{D}}M}} = \dfrac{{7 - 3}}{{2\left( {7 + 3} \right)}}.S = \dfrac{S}{5} = \dfrac{{20.S }}{100} \)\(\,= 20\% S\)

Vậy \(S_{ADM} = 20\%S_{ABC}\).

-- Mod Toán 8 HỌC247