Bài tập 27 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

a) Ta có:

\({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} \\= 1 + \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}}} = 1 + \frac{{1 - {u_n}}}{{{u_n}}}\\ = \frac{{{u_n} + 1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}}\)

\( \Rightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} = \frac{1}{{{u_n}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{u_n}}}} \right) = - 1\).

Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = - 1\).

Số hạng đầu của dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là \({v_1} = 1 + \frac{1}{{{u_1}}} = 1 + \frac{1}{{ - 2}} = \frac{1}{2}\)

b) Vì \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = \frac{1}{2}\) và công sai \(d = - 1\).

Nên ta có \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{1}{2} + \left( {n - 1} \right)\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} + 1 - n = \frac{{3 - 2n}}{2}\).

Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(\frac{{3 - 2n}}{2} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{{1 - 2n}}{2} \\\Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}\)

c) Ta có \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên:

\(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}}\\ = \left( {{v_1} - 1} \right) + \left( {{v_2} - 1} \right) + \left( {{v_3} - 1} \right) + ... + \left( {{v_{20}} - 1} \right)\)

\( = \left( {{v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}}} \right) - 20 \\= \frac{{\left( {2{v_1} + 19d} \right).20}}{2} - 20 \\= 10\left( {2.\frac{1}{2} - 19} \right) - 2 = - 200\)

-- Mod Toán 11 HỌC247