Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Với hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cho trước, lấy một điểm A vẽ các vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \). Lấy điểm A’ khác A và cũng vẽ các vectơ \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow b \). Hỏi hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \) có mối quan hệ gì?

Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AC} \)

a) Trong hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \)và vectơ \(\overrightarrow b  + \overrightarrow a \).

b) Trong hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c \)và vectơ \(\overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\).

Cho hình thoi ABCD cới cạnh có độ dài bằng 1 và \(\widehat {BAD} = {120^o}\). Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA} .\)

Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cần bằng thì hai vectơ này có mối quan hệ gì với nhau?

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 .\)

Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148 N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260kg) lên một con dốc nghiêng \({30^o}\) so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Cho bốn điểm \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng:

a)  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BD} \)

Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \). Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {CM} \).

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} .\)

Hình 4.19 biểu diễn hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động lên một vật, cho \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 3\;N,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\;N.\) Tính độ lớn của hợp lực \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} \).

Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không khổi và có độ lớn bàng nhau. Hai tàu luôn dược giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yêu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước.

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng

\(\left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)

Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O.\) \(M\) là một điểm tùy ý thuộc cạnh \(BC,\) khác \(B\) và \(C.\) \(MO\) cắt cạnh \(AD\) tại \(N.\)

a) Chứng minh rằng \(O\) là trung điểm của \(MN.\)

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\) Chứng minh rằng \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNC.\)

Cho tứ giác \(ABCD.\)

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 .\)

b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} .\)

Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\)

a) Xác định vectơ \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE} \)

b) Xác định điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {MA} .\)

c) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB} .\)

Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vị trí cân bằng \(A.\) Cho biết \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 30N,\,\,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 40N.\) Tính cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} .\)

Trên mặt phẳng, chất điểm \(A\) chịu tác động của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \({60^ \circ }.\) Tính độ lớn của \(\overrightarrow {{F_3}} ,\) biết rằng \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\sqrt 3 N.\)