Ôn tập Toán 11 Chương 3 Chương 3 Dãy Số, Cấp Số Cộng & Cấp Số Nhân
Để giúp các em trong quá trình Ôn tập Toán 11 Chương 3 về Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân, HỌC247 xin gửi đến các em tài liệu ôn tập Chương 3 gồm các kiến thức trọng tâm của chương cùng các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao, được biên soạn bám sát với nội dung chương trình Toán 11. Ngoài ra, sau mỗi bài học các em có thể làm bài trắc nghiệm online để cũng cố lại kiến thức của mình, tài liệu còn cung cấp thêm nội dung các bài học của chương cùng phần hướng dẫn giải bài tập SGK được biên soạn đầy đủ, chi tiết. Mời các em cùng tham khảo nhé!
Đề cương Ôn tập Toán 11 Chương 3
A. Tóm tắt lý thuyết
1.1 Tổng quát nội dung Chương 3
1. Nội dung phương pháp quy nạp toán học:
Cho n0 là một số nguyên dương và P(n) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên n≥n0. Nếu
(1) P(n0) là đúng và
(2) Nếu P(k) đúng, thì P(k+1)cũng đúng với mọi số tự nhiên k≥n0;
thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiênn≥n0 .
Khi ta bắt gặp bài toán:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n≥n0,n0∈N ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau
Bước 1: Kiểm tra P(n0) có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai
Bước 2: Với k≥n0, giả sử P(k) đúng ta cần chứng minh P(k+1) cũng đúng.
Kết luận: P(n) đúng với ∀n≥n0.
Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề P(k) đúng gọi là giả thiết quy nạp.
2. Dãy số
Khái niệm
Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u:N∗→R,n→u(n)
Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n:
u(1),u(2),u(3),...,u(n),...
∙Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số.
∙ Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1,u2,...,un,... hoặc dạng rút gọn (un).
Cách cho dãy số
Người ta thường cho dãy số theo các cách:
∙ Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó
∙ Cho bằng công thức truy hồi, tức là:
* Cho một vài số hạng đầu của dãy
* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.
Dãy số tăng, dãy số giảm
∙ Dãy số (un) gọi là dãy tăng nếu un<un+1∀n∈N∗
∙ Dãy số (un) gọi là dãy giảm nếu un>un+1∀n∈N∗
Dãy số bị chặn
∙ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực M sao cho un<M∀n∈N∗.
∙ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực m sao cho un>m∀n∈N∗.
∙ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho |un|<M∀n∈N∗.
3. Cấp số cộng
Định nghĩa
Dãy số (un) được xác định bởi {u1=aun+1=un+d,n∈N∗ gọi là cấp số cộng; d gọi là công sai.
Các tính chất
∙ Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un=u1+(n−1)d.
∙ Ba số hạng uk,uk+1,uk+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi uk+1=12(uk+uk+2).
∙ Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức :
Sn=u1+u2+...+un=n2(u1+un)=n2[2u1+(n−1)d].
4. Cấp số nhân
Định nghĩa
Dãy số (un) được xác định bởi {u1=aun+1=un.q,n∈N∗ gọi là cấp số nhân; q gọi là công bội.
Các tính chất
∙ Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un=u1qn−1.
∙ Ba số hạng uk,uk+1,uk+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi u2k+1=uk.uk+2.
∙ Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức :
Sn=u1+u2+...+un=u11−qn1−q
1.2. Các dạng bài tập Chương 3
B. Bài tập minh họa
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta luôn có:
a) 12+22+...+(n−1)2+n2=n(n+1)(2n+1)6
b) 13+232+...+n3n=34−2n+34.3n
Hướng dẫn giải
a) Bước 1: Với n=1 ta có:
VT=12=1,VP=1(1+1)(2.1+1)6=1⇒VT=VP
⇒ đẳng thức cho đúng với n=1.
Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với n=k≥1, tức là:
12+22+...+(k−1)2+k2=k(k+1)(2k+1)6 (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với n=k+1, tức là cần chứng minh:
12+22+...+(k−1)2+k2+(k+1)2=(k+1)(k+1)(2k+3)6 (2).
Thật vây:
VT(2)=[12+22+...+k2]+(k+1)2do(1)=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2
=(k+1)[2k2+k6+k+1]=(k+1)(2k2+7k+6)6
=(k+1)(k+2)(2k+3)6=VP(2)
⇒(2) đúng ⇒đẳng thức cho đúng với mọi n≥1.
b) * Với n=1 ta có VT=1=VP⇒ đẳng thức cho đúng với n=1
* Giả sử đẳng thức cho đúng với n=k≥1, tức là:13+232+...+k3k=34−2k+34.3k (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với n=k+1, tức là cần chứng minh
13+232+...+k3k+k+13k+1=34−2k+54.3k+1 (2).
Thật vậy:VT(2)=34−2k+34.3k+k+13k+1=34−2k+54.3k+1=VP(2)
⇒(2) đúng ⇒ đẳng thức cho đúng.
Bài 2: Cho dãy số (un):{u1=1,u2=2un+1=√un+√un−1∀n≥2. Chứng minh rằng dãy (un) là dãy tăng và bị chặn.
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh dãy (un) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp
* Dễ thấy: u1<u2<u3.
* Giả sử uk−1<uk∀k≥2, ta chứng minh uk+1<uk. Thật vậy:
uk+1=√uk+√uk−1>√uk−1+√uk−2=uk
Vậy (un) là dãy tăng.
Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được un<4∀n, hơn nữa un>0
Nên dãy (un) là dãy bị chặn.
Bài 3: Chứng minh rằng :
a) Nếu phương trình x3−ax2+bx−c=0 có ba nghiệm lập thành CSC thì 9ab=2a3+27c
b) Nếu phương trình x3−ax2+bx−c=0 có ba nghiệm lập thành CSN thì c(ca3−b3)=0
Hướng dẫn giải
a) Giả sử phương trình có ba nghiệm x1,x2,x3 lập thành CSC
Suy ra: x1+x3=2x2 (1)
Mặt khác: x3−ax2+bx−c=(x−x1)(x−x2)(x−x3)
=x3−(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)x−x1x2x3
Suy ra x1+x2+x3=a (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra 3x2=a hay x2=a3
Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm x2=a3, tức là:
(a3)3−a(a3)2+b(a3)−c=0⇔−2a327+ba3−c=0⇔9ab=2a3+27c
Ta có đpcm.
b) Giả sử ba nghiệm x1,x2,x3 lập thành CSN, suy ra x1x3=x22
Theo phân tích bài trên, ta có: x1x2x3=c⇒x32=c⇒x2=3√c
Hay phương trình đã cho có nghiệm x2=3√c, tức là:
(3√c)3−a(3√c)2+b3√c−c=0⇔b3√c=a3√c2⇔c(ca3−b3)=0
Bài toán được chứng minh.
Bài 4:
a) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tanA2;tanB2;
tanC2 lập thành cấp số cộng ⇔cosA;cosB;cosC lập thành cấp số cộng.
b) Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng cotA2;cotB2;cotC2 lập thành cấp số cộng ⇔sinA;sinB;sinC lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: tanA2;tanB2;tanC2 lập thành cấp số cộng
⇔tanA2+tanC2=2tanB2⇔sin(A2+C2)cosA2cosC2=2sinB2cosB2
⇔cos2B2=sinB2[cos(A2+C2)+cos(A2−C2)]
⇔1+cosB2=1−cosB2+12[cosA+cosC]
⇔cosB=cosA+cosC2⇔cosA,cosB,cosC lập thành CSC.
b) Ta có: cotA2−cotB2=cotB2−cotC2
⇔cosA2sinB2−cosB2sinA2sinA2sinB2=cosB2sinC2−cosC2sinB2sinC2sinB2
⇔sinB−A2cosB+A2=sinC−B2.cosC+B2
⇔sinB−sinA=sinC−sinB⇔sinA+sinC=2sinB.
Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3
- Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 1
- Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 2
- Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 3
- Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 4
- Trắc nghiệm ôn tập Chương 3 Toán 11
Đề kiểm tra Toán 11 Chương 3
Đề kiểm tra trắc nghiệm online Chương 3 Toán 11
Phần này các em được làm trắc nghiệm online trong vòng 45 phút để kiểm tra năng lực và sau đó đối chiếu kết quả và xem đáp án chi tiết từng câu hỏi.
- Đề trắc nghiệm ôn tập Chương Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân có lời giải
- 40 câu trắc nghiệm ôn tập Chương 3 Đại số 11
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 3 Đại số và Giải tích 11 năm học 2018 - 2019
- Đề kiểm tra 1 tiết Chương 3 Đại số 11 năm 2018 Trường THPT Thị Xã Quảng Trị
Đề kiểm tra Chương 3 Toán 11 (Tải File)
Phần này các em có thể xem online hoặc tải file đề thi về tham khảo gồm đầy đủ câu hỏi và đáp án làm bài.
Lý thuyết từng bài Chương 3 và hướng dẫn giải bài tập SGK
Lý thuyết các bài học Toán 11 Chương 3
- Toán 11 Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học
- Toán 11 Bài 2 Dãy số
- Toán 11 Bài 3 Cấp số cộng
- Toán 11 Bài 4 Cấp số nhân
- Toán 11 Ôn tập chương 3 Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân
Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 Chương 3
- Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 1
- Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 2
- Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 3
- Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 4
- Giải bài ôn tập Chương 3 Toán 11
Để xem nội dung đầy đủ, chi tiết, các em đăng nhập vào tài khoản trên trang Hoc247.net. Trên mỗi tài liệu, Hoc247 đều hỗ trợ chức năng chia sẻ lên Facebook để giới thiệu bạn bè cùng vào học, tích lũy thêm điểm HP và có cơ hội nhận thêm nhiều phần quà có giá trị từ HỌC247! Chúc các em đạt kết quả thật cao.



