Ôn tập Toán 11 Chương 3 Chương 3 Dãy Số, Cấp Số Cộng & Cấp Số Nhân

Đề cương Ôn tập Toán 11 Chương 3

A. Tóm tắt lý thuyết 

1.1 Tổng quát nội dung Chương 3

Cho \({n_0}\) là một số nguyên dương và \(P(n)\) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0}\). Nếu

(1)  \(P({n_0})\) là đúng và

(2)  Nếu \(P(k)\) đúng, thì \(P(k + 1)\)cũng đúng với mọi số tự nhiên \(k \ge {n_0}\);

thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên\(n \ge {n_0}\) .

Khi ta bắt gặp bài toán:

Chứng minh mệnh đề \(P(n)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0},\)\({n_0} \in \mathbb{N}\) ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau

Bước 1: Kiểm tra \(P({n_0})\) có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai

Bước 2: Với \(k \ge {n_0}\), giả sử \(P(k)\) đúng ta cần chứng minh \(P(k + 1)\) cũng đúng.

Kết luận:  \(P(n)\) đúng với \(\forall n \ge {n_0}\).

Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề \(P(k)\) đúng gọi là giả thiết quy nạp.

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số \(u:\mathbb{N}* \to \mathbb{R},{\rm{ }}n \to u(n)\)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên \(n\):

\(u(1),u(2),u(3),...,u(n),...\)

\( \bullet {\rm{ }}\)Ta kí hiệu \(u(n)\) bởi \({u_n}\) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu của dãy số.

\( \bullet \) Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},...,{u_n},...\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\).

Người ta thường cho dãy số theo các cách:

\( \bullet \) Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

\( \bullet \) Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

    * Cho một vài số hạng đầu của dãy

    * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho \({u_n} < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực \(m\) sao cho \({u_n} > m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

\( \bullet \) Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương  \(M\) sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

3. Cấp số cộng

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.

\( \bullet \)  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).

\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi \({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).

\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số nhân; \(q\) gọi là công bội.

\( \bullet \)  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).

\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).

\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

1.2. Các dạng bài tập Chương 3

B. Bài tập minh họa

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta luôn có:

a) \({1^2} + {2^2} + ... + {(n - 1)^2} + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)   

b) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{n}{{{3^n}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)

Hướng dẫn giải

a) Bước 1: Với \(n = 1\) ta có:

\(VT = {1^2} = 1,{\rm{ }}VP = \frac{{1(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6} = 1 \Rightarrow VT = VP\)

\( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức cho  đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:

\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\)   (1)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh:

\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 1)(2k + 3)}}{6}\)  (2).

Thật vây:

\(VT(2) = \left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {k^2}} \right] + {(k + 1)^2}\)\(\mathop  = \limits^{{\rm{do }}(1)} \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\)

                \( = (k + 1)\left[ {\frac{{2{k^2} + k}}{6} + k + 1} \right] = \frac{{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)}}{6}\)

               \( = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6} = VP(2)\)

\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \)đẳng thức cho  đúng với mọi \(n \ge 1\).

b) * Với \(n = 1\) ta có \(VT = 1 = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\)

* Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}}\)   (1)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho  đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh

\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}}\)    (2).

Thật vậy:\(VT(2) = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = VP(2)\)

\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng.

Bài 2: Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}}  + \sqrt {{u_{n - 1}}} {\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy tăng và bị chặn.

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh dãy \(({u_n})\) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp

* Dễ thấy: \({u_1} < {u_2} < {u_3}\).

* Giả sử \({u_{k - 1}} < {u_k}{\rm{ }}\forall k \ge 2\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} < {u_k}\). Thật vậy:

\({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k}}  + \sqrt {{u_{k - 1}}}  > \sqrt {{u_{k - 1}}}  + \sqrt {{u_{k - 2}}}  = {u_k}\)

Vậy \(({u_n})\) là dãy tăng.

Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được \({u_n} < 4{\rm{ }}\forall n\), hơn nữa \({u_n} > 0\)

Nên dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn.

Bài 3: Chứng minh rằng :

a) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSC thì \(9ab = 2{a^3} + 27c\)

b) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSN thì \(c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Giả sử phương trình  có ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSC

Suy ra: \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\) (1)

Mặt khác: \({x^3} - a{x^2} + bx - c = (x - {x_1})(x - {x_2})(x - {x_3})\)

                      \( = {x^3} - ({x_1} + {x_2} + {x_3}){x^2} + ({x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1})x - {x_1}{x_2}{x_3}\)

Suy ra \({x_1} + {x_2} + {x_3} = a\)  (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra \(3{x_2} = a\) hay \({x_2} = \frac{a}{3}\)

Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \frac{a}{3}\), tức là:

\({\left( {\frac{a}{3}} \right)^3} - a{\left( {\frac{a}{3}} \right)^2} + b\left( {\frac{a}{3}} \right) - c = 0 \Leftrightarrow  - \frac{{2{a^3}}}{{27}} + \frac{{ba}}{3} - c = 0 \Leftrightarrow 9ab = 2{a^3} + 27c\)

Ta có đpcm.

b) Giả sử ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSN, suy ra \({x_1}{x_3} = x_2^2\)

Theo phân tích bài trên, ta có: \({x_1}{x_2}{x_3} = c \Rightarrow x_2^3 = c \Rightarrow {x_2} = \sqrt[3]{c}\)

Hay phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \sqrt[3]{c}\), tức là:

\({\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^3} - a{\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^2} + b\sqrt[3]{c} - c = 0 \Leftrightarrow b\sqrt[3]{c} = a\sqrt[3]{{{c^2}}} \Leftrightarrow c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)

Bài toán được chứng minh.

Bài 4:

a) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\)

\(\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \cos A;\cos B;\cos C\) lập thành cấp số cộng.

b) Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng \(\cot \frac{A}{2};\cot \frac{B}{2};\cot \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \sin A;\sin B;\sin C\) lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng

\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} = 2\tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin (\frac{A}{2} + \frac{C}{2})}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{2} = \frac{{1 - \cos B}}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos A + \cos C} \right]\)

\( \Leftrightarrow \cos B = \frac{{\cos A + \cos C}}{2} \Leftrightarrow \cos A,\cos B,\cos C\) lập thành CSC.

b) Ta có: \(\cot \frac{A}{2} - \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{B}{2} - \cot \frac{C}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} - \cos \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} - \cos \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}\)

\( \Leftrightarrow \sin \frac{{B - A}}{2}\cos \frac{{B + A}}{2} = \sin \frac{{C - B}}{2}.\cos \frac{{C + B}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin B - \sin A = \sin C - \sin B \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B\).

Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3

• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 1 
• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 2
• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 3
• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 4
• Trắc nghiệm ôn tập Chương 3 Toán 11

Đề kiểm tra Toán 11 Chương 3

Đề kiểm tra trắc nghiệm online Chương 3 Toán 11

Phần này các em được làm trắc nghiệm online trong vòng 45 phút để kiểm tra năng lực và sau đó đối chiếu kết quả và xem đáp án chi tiết từng câu hỏi.

• Đề trắc nghiệm ôn tập Chương Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân có lời giải
• 40 câu trắc nghiệm ôn tập Chương 3 Đại số 11
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 3 Đại số và Giải tích 11 năm học 2018 - 2019
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 3 Đại số 11 năm 2018 Trường THPT Thị Xã Quảng Trị

Đề kiểm tra Chương 3 Toán 11 (Tải File)

Phần này các em có thể xem online hoặc tải file đề thi về tham khảo gồm đầy đủ câu hỏi và đáp án làm bài.

• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 3 Đại số 11 năm 2018 có đáp án - Trường THPT Thị xã Quảng Trị

Lý thuyết từng bài Chương 3 và hướng dẫn giải bài tập SGK

Lý thuyết các bài học Toán 11 Chương 3

• Toán 11 Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học
• Toán 11 Bài 2 Dãy số
• Toán 11 Bài 3 Cấp số cộng
• Toán 11 Bài 4 Cấp số nhân
• Toán 11 Ôn tập chương 3 Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 Chương 3

• Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 1
• Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 2
• Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 3
• Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 4
• Giải bài ôn tập Chương 3 Toán 11

Để xem nội dung đầy đủ, chi tiết, các em đăng nhập vào tài khoản trên trang Hoc247.net. Trên mỗi tài liệu, Hoc247 đều hỗ trợ chức năng chia sẻ lên Facebook để giới thiệu bạn bè cùng vào học, tích lũy thêm điểm HP và có cơ hội nhận thêm nhiều phần quà có giá trị từ HỌC247! Chúc các em đạt kết quả thật cao.