Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 2.4^y + 1=2^{\sqrt{2x+1}}+2log_2\frac{\sqrt{x}}{y}

Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} 2x\geq 0\\ \frac{x}{y}>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x>0\\ y>0 \end{matrix}\right.\)

Ta có:

\((2)\Leftrightarrow (x^{2}+yx+1)(x-y-1)=0\Leftrightarrow x-y-1=0\) (Vì \(x^{2}+yx+1>0\))

\(\Leftrightarrow y=x-1\; \; \; (a)\)

\((1)\Leftrightarrow 2.4^{y}+1=2^{\sqrt{2x}+1}+2\log _{2}\frac{\sqrt{x}}{y}\)

\(\Leftrightarrow 2^{2y}+\log _{2}2y=2^{\sqrt{2x}}+\log _{2}\sqrt{2x}\; \; \; (*)\)

Xét hàm số: \(f(t)=2^{t}+\log _{2}t\) trên \((0;+\infty)\)

Ta có: \(f'(t)=2^{t}\ln 2+\frac{1}{t\ln 2}>0\; \forall t\in [0;e],\) vậy f(t) là hàm số đồng biến.

Biểu thức \((*)\Leftrightarrow f(2y)=f(\sqrt{2x})\Leftrightarrow 2y=\sqrt{2x}\; \; \; (b)\)

Từ (a) và (b) ta có:

\(2(x-1)=\sqrt{2x}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x\geq 1\\ 4x^{2}-8x+4=2x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x\geq 1\\ 2x^{2}-5x+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! x\geq 1\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} x=2\\ x=\frac{1}{2} \end{matrix} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

Với \(x=2\Rightarrow y=1,\) suy ra hệ phương trình có một nghiệm (2; 1).