YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng phương trình bậc hai cx^2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương x_3, x_4

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a,b,c khác 0) có hai nghiệm dương x1, x2. Chứng minh rằng phương trình bậc hai cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương x3, x4. Suy ra x1 + x2 + x3 + x4 \(\ge\) 4

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Đặng Hoàng Nguyên

    \(ax^2+bx+c=0\)

    Do phương trình có 2 nghiệm dương

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\)

    \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{-b}{a}>0\\\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{b}{a}< 0\\\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\b,a\left(trái.dấu\right)\\c,a\left(cùng.dấu\right)\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow b,c\) trái đấu

    Xét \(cx^2+bx+a=0\)

    Giả sử phương trình có 2 nghiệm dương

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\P>0\\S>0\end{matrix}\right.\)

    \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{c}{a}>0\\\dfrac{-b}{c}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{c}{a}>0\\\dfrac{b}{c}< 0\end{matrix}\right.\) ( 1 )

    Do b , c trái dấu nên ( 1 ) luôn đúng vậy pt \(cx^2+bx+a=0\) luôn có 2 nghiệm dương phân biệt

    \(\Rightarrow\) đpcm

    Xét pt \(ax^2+bx+c=0\) \(\forall\left\{{}\begin{matrix}x_1>0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)

    Theo định lý Viet

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}>0\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)( 1 )

    Xét pt \(cx^2+bx+a=0\) \(\forall\left\{{}\begin{matrix}x_3>0\\x_4>0\end{matrix}\right.\)

    Theo định lý Viet

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=x_3+x_4=\dfrac{-b}{c}>0\\P=x_3x_4=\dfrac{a}{c}>0\end{matrix}\right.\)( 2 )

    Từ ( 1 ) và ( 2 )

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 4 bộ số thực không âm

    \(\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}\)

    \(\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\sqrt[4]{\dfrac{c}{a}.\dfrac{a}{c}}=4\) ( đpcm )

      bởi Đặng Hoàng Nguyên 17/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF