YOMEDIA
NONE

Chứng minh 1/xy + 1/xz ≥ 1

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x +y + z = 4.

Chứng minh: \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge1\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Lời giải:

    Sử dụng PP biến đổi tương đương kết hợp với BĐT Cauchy:

    Ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\geq 1\Leftrightarrow \frac{z}{xyz}+\frac{y}{xyz}\geq 1\)

    \(\Leftrightarrow \frac{y+z}{xyz}\geq 1\Leftrightarrow y+z\geq xyz\)

    \(\Leftrightarrow y+z\geq (4-y-z)yz\)

    \(\Leftrightarrow y^2z+yz^2+y+z\geq 4yz(*)\)

    Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy ta có:

    \(\left\{\begin{matrix} y^2z+z\geq 2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\ yz^2+y\geq 2\sqrt{z^2y^2}=2yz\end{matrix}\right.\)

    Cộng theo vế: \(y^2z+yz^2+y+z\geq 4yz\). Do đó $(*)$ đúng. Ta có đpcm.

    Dấu bằng xảy ra khi \((x,y,z)=(2,1,1)\)

      bởi Nguyễn Dung 25/01/2019
    Like (1) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON