Tính tổng 100 số hạng đầu tiên 1/3 ; 1/15 ; 1/35 ;...

a, Ta có: \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{1.3};\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{3.5};\dfrac{1}{35}=\dfrac{1}{5.7};...\)

Gọi x là thừa số thứ nhất ở phần mẫu của số hạng thứ 100 \(\left(x\in N;x>0\right)\), ta có:

\(\left(x-1\right):2+1=100\Rightarrow\left(x-1\right):2=99\Rightarrow x-1=198\Rightarrow x=199\)

\(\Rightarrow\) số thứ 100 của dãy trên là \(\dfrac{1}{199.201}\)

Do đó tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy trên là:

\(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+...+\dfrac{1}{199.201}\)

\(=\left(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+...+\dfrac{2}{199.201}\right):2\)

\(=\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{199}-\dfrac{1}{201}\right):2\)

\(=\left(1-\dfrac{1}{201}\right):2=\dfrac{200}{201}:2=\dfrac{200}{201}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{100}{201}\)

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy trên là \(\dfrac{100}{201}\)

b, Ta có: \(\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{1.5};\dfrac{1}{45}=\dfrac{1}{5.9};\dfrac{1}{117}=\dfrac{1}{9.13};...\)

Gọi a là thừa số thứ nhất ở phần mẫu của số hạng thứ 100 (\(a\in N\)*), ta có: \(\left(a-1\right):4+1=100\Rightarrow\left(a-1\right):4=99\)

\(\Rightarrow a-1=99.4=396\Rightarrow a=397\)

\(\Rightarrow\) số thứ 100 của dãy trên là \(\dfrac{1}{397.401}\)

Do đó, tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy trên là:

\(\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+...+\dfrac{1}{397.401}=\left(\dfrac{4}{1.5}+\dfrac{4}{5.9}+...+\dfrac{4}{397.401}\right):4\)

\(=\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{397}-\dfrac{1}{401}\right):4\)

\(=\left(1-\dfrac{1}{401}\right):4=\dfrac{400}{401}:4=\dfrac{100}{401}\)

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy trên là \(\dfrac{100}{401}\)