Tính các góc nhọn tam giác ABC biết EC-EA=AB biết tam giác ABC vuông tại B có đường cao BE

Đây là đáp án của mình mn tham khảo :)

Hình tự vẽ

1)Gọi giao điểm của AI với BC là M,nối A với M

Đầu tiên ta chứng minh đinh lý:trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền(tớ sẽ cm ở cuối bài)

Áp dụng vào bài toán

Ta có:AK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC

=>AK=BK=CK=1/2BC

=>\(\Delta ABK\) cân tại K

\(\Rightarrow\widehat{KBA}=\widehat{KAB}\)

Mà \(\widehat{BAK}+\widehat{KAE}=\widehat{KEA}+\widehat{KAE}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{KBA}=\widehat{KEA}\left(=\widehat{KAB}\right)\)(1)

Lại có:AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền DE của tam giác vuông ADE

=>AI=DI=IE=1/2DE

\(\Rightarrow\Delta AID\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IDA}=\widehat{IAD}\)(2)

Cộng (1) và (2)

\(\Rightarrow\widehat{KBA}+\widehat{IAD}=\widehat{KEA}+\widehat{IDA}\)

\(\Rightarrow\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MBA}+\widehat{MAB}+\widehat{BMA}=90^0+\widehat{BMA}\)

\(\Rightarrow90^0+\widehat{BMA}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BMA}=90^0\)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

\(\Rightarrow AI\perp BC\left(đpcm\right)\)

b)Xét \(\Delta AIK\) vuông tại K=>AI>AK

=>AI+AI>AK+AK

=>2AI>2AK

=>DE>BC

Chứng minh định lý:

Vẽ AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC

Trên tia đối tia MA lấy điểm E sao cho MA=ME

=>\(\Delta AMB=\Delta EMC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CEM}\)(2 góc tương ứng),AB=CE(2 cạnh tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí slt

=>AB//CE

=>CE\(\perp\)AC

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta CEA\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow BC=AE\)(2 cạnh tương ứng)

Mà AM=1/2AE

=>AM=1/2BC

=>đpcm