Tìm x, y, z thuộc N* thỏa (x+y.căn 2017)(/(y+z.căn 2017) thuộc Q

Lời giải:

Để \(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}\in\mathbb{Q}\Rightarrow \exists a,b\in\mathbb{N}^*, (a,b)=1\) sao cho :

\(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=\frac{a}{b}\Leftrightarrow bx+by\sqrt{2017}=ay+az\sqrt{2017}\)

\(\Leftrightarrow (bx-ay)=\sqrt{2017}(az-by)\)

Vì \(a,b,x,y\in\mathbb{N}^*; \sqrt{2017}\not\in\mathbb{Q}\rightarrow \) để đẳng thức trên xảy ra thì:

\(bx-ay=az-by=0\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}=\frac{x}{y}\\ \frac{a}{b}=\frac{y}{z}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{y}{z}\)

\(\Rightarrow y^2=xz\)

a) Gọi d là ước chung lớn nhất của x và z. Khi đó đặt:

\(\left\{\begin{matrix} x=x_1d\\ z=z_1d\end{matrix}\right.(x_1,z_1\in\mathbb{N}^*; (x_1,z_1)=1)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x_1^2d^2+d^2x_1z_1+z_1^2d^2\)

\(=d^2(x_1^2+x_1z_1+z_1^2)\)

Vì \(x_1,z_1\in\mathbb{N}^*\Rightarrow x_1^2+x_1z_1+z_1^2>1\)

Do đó để \(x^2+y^2+z^2\in\mathbb{P}\Rightarrow d=1\)

Ta thấy \(y^2=xz; (x,z)=1\Rightarrow \exists m,n\in\mathbb{Z}\) sao cho:

\(\left\{\begin{matrix} x=m^2\\ z=n^2\end{matrix}\right.\Rightarrow y=mn\)

Khi đó: \(x^2+y^2+z^2=m^4+m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2-m^2n^2\)

\(=(m^2+n^2-mn)(m^2+n^2+mn)\)

Để tích trên là số nguyên tố thì buộc một trong hai thừa số phải bằng 1

Dễ thấy \(m^2+n^2-mn< m^2+n^2+mn\Rightarrow m^2+n^2-mn=1\)

\(\Leftrightarrow (m-n)^2+mn=1\Leftrightarrow mn=1-(m-n)^2\leq 1\)

Mà \(mn=y\geq 1\)

Do đó \(mn=1\) hay \(y=1\)

Mặt khác \(mn=1; m,n\in\mathbb{Z}\Rightarrow (m,n)=(1,1); (-1;-1)\)

Cả hai đều thu được \(x=z=1\)

Vậy \((x,y,z)=(1,1,1)\)

b)

Vì \(xz=y^2\Rightarrow x^2-2y^2+z^2=36\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xz+z^2=36\)

\(\Leftrightarrow (x-z)^2=36\Leftrightarrow x-z=\pm 6\)

TH1: \(x-z=6\Rightarrow x=z+6\)

Khi đó: \(y^2=xz=z(6+z)=z^2+6z\)

\(\Leftrightarrow y^2+9=(z+3)^2\)

\(\Leftrightarrow (z+3-y)(z+3+y)=9\)

Do \(z+3+y>0; z+3+y> z+3-y\) nên:\((z+3-y,z+3+y)=(1;9)\)

Từ đây ta thu được: \(z=2;y=4\rightarrow x=8\)

Ta có bộ \((x,y,z)=(8;4;2)\)

TH2: \(x-z=-6\). Tương tự như trên ta thu được \((x,y,z)=(2;4;8)\)