Tìm giá trị của \(x,y,z\) biết rằng: \(\dfrac{x}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 1}} = \dfrac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z\)

\(\dfrac{x}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 1}} = \dfrac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

+) Nếu \(x + y + z = 0\) thì từ \((1)\) suy ra \(x = y = z = 0\) .

+) Nếu \(x + y + z \ne 0\). Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ba tỉ số ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 1}} = \dfrac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \Rightarrow x + y + z = \dfrac{{x + y + z}}{{y + z + 1 + x + z + 1 + x + y - 2}} = \dfrac{{x + y + z}}{{2.(x + y + z)}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow x + y = \dfrac{1}{2} - z;\;\;\;x + z = \dfrac{1}{2} - y;\;\;\;y + z = \dfrac{1}{2} - x\end{array}\)

Khi đó \((1)\) trở thành:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\dfrac{x}{{\dfrac{1}{2} - x + 1}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{2} - y + 1}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{2} - z - 2}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{3}{2} - x}} = \dfrac{y}{{\dfrac{3}{2} - y}} = \dfrac{z}{{ - \dfrac{3}{2} - z}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = \dfrac{3}{2} - x\\2y = \dfrac{3}{2} - y\\2z =  - \dfrac{3}{2} - z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{2}\\z =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có hai bộ số \((x,y,z)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán: \((0;0;0)\,\,;\,\,\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) .