Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích là 24

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là n ; n + 1 ; n + 2 ; n + 3

Ta có:

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=24\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)-24=0\)

\(\Rightarrow\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]-24=0\)

\(\Rightarrow\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)-24=0\)

Đặt \(n^2+3n+1=a\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)-24=0\)

\(\Rightarrow a^2-1-24=0\)

\(\Rightarrow a^2-25=0\)

\(\Rightarrow\left(a-5\right)\left(a+5\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(n^2+3n+1-5\right)\left(n^2+3n+1+5\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(n^2+3n-4\right)\left(n^2+3n+6\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(n^2-n+4n-4\right)\left(n^2+3n+6\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[n\left(n-1\right)+4\left(n-1\right)\right]\left(n^2+3n+6\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+4\right)\left(n^2+3n+6\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n-1=0\\n+4=0\\n^2+3n+6=0\end{matrix}\right.\)

Mà ta có:

\(n^2+3n+6\)

\(=n^2+2.n\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}+6\)

\(=\left(n+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\)

Vì \(\left(n+\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\) với mọi n

\(\Rightarrow\left(n+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\ge\dfrac{15}{4}\)

\(\Rightarrow n^2+3n+6\) vô nghiệm

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n-1=0\\n+4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\\n=-4\end{matrix}\right.\)

Vì n là số tự nhiên

=> n = 1

Vậy 4 số tự nhiên liên tiếp có tích là 24 lần lượt là 1 ; 2 ; 3 ; 4