Chứng minh tam giác MHK cân biết tam giác ABC vuông cân ở A có M là trung điểm BC

a) Đề sai, sửa lại như sau: CM: BH = AK.

a) Vì \(\Delta ABC\) vuông cân ở A

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^o;AB=AC\)

Ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{CAK}=90^o\) (1)

Lại có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\widehat{BAH}+\widehat{CAK}=\widehat{BAH}+\widehat{ABH}\)

\(\Rightarrow\widehat{CAK}=\widehat{ABH}\)

Xét \(\Delta BHA\) vuông tại H và \(\Delta AKC\) vuông tại K có:

AB = AC (c/m trên)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAK}\) (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta BHA=\Delta AKC\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow BH=AK\) (2 cạnh t/ư)

b) Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)

\(\Rightarrow2\widehat{ABC}+90^o=180^o\)

\(\Rightarrow2\widehat{ABC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=45^o\)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có:

AM chung

AB = AC (câu a)

MB = MC (suy từ gt)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 góc t/ư)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^o\)

Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{AMB}+\widehat{ABM}+\widehat{BAM}=180^o\)

\(\Rightarrow90^o+45^o+\widehat{BAM}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{ABM}\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại M

\(\Rightarrow BM=AM\)

Ta lại có: \(\widehat{BEH}+\widehat{HBM}=90^o\) (t/c tgv)

\(\widehat{MAK}+\) \(\widehat{BEH}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{HBM}=\widehat{MAK}\)

Xét \(\Delta\)\(MBH\) và \(\Delta MAK\) có:

MB = MA (c/m trên)

\(\widehat{HBM}=\widehat{MAK}\) (c/m trên)

BH = AK (câu a)

\(\Rightarrow\Delta MBH=\Delta MAK\left(c.g.c\right)\)