Chứng minh tam giác KBC cân biết tam giác ABC vuông tại A có phân giác góc ABC cắt AC tại D

Bài 4( 3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Từ D kẻ DH vuông góc với BC tại H và DH cắt AB tại K.

a) Chứng minh: AD = DH

b) So sánh độ dài cạnh AD và DC

c) Chứng minh tam giác KBC là tam giác cân.

Bài làm:

a, Xét tam giác ABD (góc A=90 độ) và tam giác HBD( góc H=90 độ) có
^ABD = ^DBH ( Do DB là tia phân giác của góc ABC )
Cạnh BD chung

=>T/g ABD=T/g DBH (ch-gn)
=> AD = HD ( 2 cạnh t/ứ) (ĐPCM)
b, Xét tam giác HDC có góc H=90 độ-> cạnh DC > cạnh DH( đ/lý về cạnh và góc đối diện) (1)

Mà DH=AD( từ câu a) (2)

Kết hợp (1) và (2) suy ra AD<DC
c, tg ADK và tg HDC có
^DAK = ^DHC ( 90 độ ) |
AD = HD ( câu a ) | => tg ADK = tg HDC ( g-c-g )
=> AK = HC ( 2 cạnh t/ứ )
vì tg ABD = tg HBC ( câu a )
=> BA = BH ( 2 cạnh t/ứ )
mà BA + AK = BK |
BH + CH = BC |
và AB = BH ( cm trên ) | => BK = BC
AK = HC ( cm trên ) |
=> tg BKC cân tại B

ở câu c) bạn cũng có thể CM theo nhiều cách khác như: CM t/g BDK=t/g BDC (g-c-g) hoặc DK là đg cao của tam giác KBC (3 đường cao cùng đồng quy tại điểm D) hoặc CM t/g BAC=t/gBHK,.....