Chứng minh tam giác HIK cân biết tam giác ABC cân tại A có A=80 độ

Hình e tự vẽ nhé:

Vẽ tam giác đều ABD cùng phía với C bờ AB, trên BK lấy E sao cho \(BE=HI\)

Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{180^o-80^o}{2}=50^o\)

\(\Rightarrow\Delta ABI\)cân tại I.

\(\Rightarrow IA=IB\left(1\right)\)

Ta có: \(\widehat{BIA}=180^o-2.50^o=80^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BHI}=180^o-\widehat{HBI}-\widehat{BIH}=180^o-20^o-80^o=80^o\)

\(\Rightarrow BHI\) cân tại B

\(\Rightarrow BH=BI\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AI=BH\)

\(\Rightarrow EH=BH-BE=AI-HI=AH\left(a\right)\)

\(\Rightarrow\Delta EHA\) cân tại H

\(\Rightarrow\widehat{HAE}=\widehat{HEA}=\dfrac{\widehat{EHI}}{2}=\dfrac{80^o}{2}=40^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EAB}=\widehat{IAB}-\widehat{IAE}=50^o-40^o=10^o\)

\(\widehat{IAD}=60^o-\widehat{BAI}=60^o-50^o=10^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EAB}=\widehat{IAD}\left(3\right)\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}IB=IA\\ID\left(chung\right)\\BD=BA\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\Delta BDI=\Delta ADI\)

\(\Rightarrow\widehat{BDI}=\widehat{ADI}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ADI}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) kết hợp với AB = AD

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ADI\)

\(\Rightarrow AE=AI\)

\(\Rightarrow\Delta EAI\) cân.

\(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{AIE}=\dfrac{180^o-\widehat{EAI}}{2}=\dfrac{180^o-40^o}{2}=70^o\)

\(\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{IEA}-\widehat{HEA}=\widehat{IEA}-\widehat{ABE}-\widehat{BAE}=70^o-30^o-10^o=30^o\left(5\right)\)

\(\widehat{HAK}=\widehat{KAB}-\widehat{IAB}=80^o-50^o=30^o\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{KAH}\left(b\right)\)

Từ (a) và (b) kết hợp với \(\widehat{EHI}=\widehat{AHK}\)

\(\Rightarrow\Delta EIH=\Delta AKH\)

\(\Rightarrow HI=HK\)

\(\Rightarrow\Delta KHI\) cân tại H.