Chứng minh tam giác EKD=tam giác DHB biết EH vuông góc AB, EK vuông góc AC

Bài 2 :

a) Xét \(\Delta ABD;\Delta ACE\) có:

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\widehat{ACE}=\widehat{ABD}\) (vì cùng bù \(\widehat{ABC}\&\widehat{ACB}\))

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân)

=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\) (c.g.c)

=> \(\widehat{ADB}=\widehat{ACE}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta HDB;\Delta KCE\) có:

\(\widehat{DHB}=\widehat{CKE}\left(=90^o\right)\)

\(DB=CE\left(gt\right)\)

\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\) ( do \(\widehat{ADB}=\widehat{ACE}\)- cmt)

=> \(\Delta HDB=\Delta KCE\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(BH=CK\) (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta AHB;\Delta ACK\) có :

\(BH=CK\left(cmt\right)\)

\(\widehat{AHB}=\widehat{ACK}\left(=90^o\right)\)

\(AB=AC\left(gt\right)\)

=> \(\Delta AHB=\Delta ACK\) (2 cạnh góc vuông)

c) Xét \(\Delta AHK\) có :

\(AH=AK\) (từ \(\Delta AHB=\Delta ACK\) - câu b)

=> \(\Delta AHK\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}=\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ADE\) có :

\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) (cmt)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AHK}=\widehat{ADE}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(\text{DE // HK}\)

Có : \(\left\{{}\begin{matrix}B\in DE\\C\in DE\end{matrix}\right.\) (gt)

=> \(\text{BC // HK(đpcm)}\)