Chứng minh tam giác DHI đều biết tam giác ABC đều có H và I là trung điểm của BF và CE

Lời giải:

a) Tam giác $ABC$ đều nên \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^0\)

Ta có: \(DE\parallel AC\Rightarrow \widehat{BDE}=\widehat{BCA}=60^0\). Kết hợp với \(\widehat{EBD}=\widehat{ABC}=60^0\) suy ra tam giác $EBD$ đều

\(\Rightarrow DE=DB\)

Tương tự $DFC$ cũng là tam giác đều \(\Rightarrow DF=DC\)

Do đó \(\frac{BD}{ED}=\frac{DF}{DC}=1\)

\(\widehat{BDF}=180^0-\widehat{FDC}=180^0-60^0=120^0\)

\(\widehat{EDC}=180^0-\widehat{EDB}=180^0-60^0=120^0\)

\(\Rightarrow \widehat{BDF}=\widehat{EDC}\)

Xét tam giác BDF và EDC có: \(\left\{\begin{matrix} \widehat{BDF}=\widehat{EDC}(\text{cmt})\\ \frac{BD}{ED}=\frac{DF}{DC}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle BDF=\triangle EDC\) (c.g.c)

b) Vì \(\triangle BDF\sim \triangle EDC\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \widehat{DBF}=\widehat{DEC}\Leftrightarrow \widehat{DBH}=\widehat{DEI}\\ \frac{BD}{ED}=\frac{BF}{EC}=\frac{2BH}{2EI}=\frac{BH}{EI}\end{matrix}\right.\)

Từ hai điều này suy ra \(\triangle BDH\sim \triangle EDI(c.g.c)\)

\(\Rightarrow \frac{DH}{DI}=\frac{BD}{ED}=1\)\(\Rightarrow DH=DI(1)\) và \(\widehat{BDH}=\widehat{EDI}\Leftrightarrow \widehat{BDE}+\widehat{EDH}=\widehat{EDH}+\widehat{HDI}\)

\(\Rightarrow \widehat{BDE}=\widehat{HDI}\Leftrightarrow \widehat{HDI}=60^0(2)\)

Từ (1); (2) suy ra tam giác DHI đều .