Chứng minh tam giác BKC cân biết phân giác góc B cắt AC tại D

a) Xét \(\Delta BHD\) và \(\Delta BAD\) có:

\(\widehat{HBD}=\widehat{ABD}\) (BD là phân giác \(\widehat{B}\) )

BD (chung)

\(\widehat{DHB}=\widehat{DAB}=90^0\)

Do đó: \(\Delta BHD=\Delta BAD\left(ch-gn\right)\)

=> DH = DA (hai cạnh tương ứng)

Vì \(\Delta CHDvuông\)

=> CD > DH(quan hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông)

mà DH = AD

=> DC > AD

b) Xét \(\Delta CDHvà\Delta ADKcó\)

DH = DA ( cmt)

\(\widehat{CHD}=\widehat{DAK}=90^0\)

\(\widehat{CDH}=\widehat{ADK}\left(đđ\right)\)

Do đó: \(\Delta CDH=\Delta ADK\left(g-c-g\right)\)

=> CH = KA (hai cạnh tương ứng)

Vì \(\Delta HBD=\Delta ABD\left(cmt\right)\)

=> HB = AB (hai cạnh tương ứng)

Ta có: CH + HB = CB

KA + AB = KB

=> CB = KB

=> \(\Delta BKC\) cân tại B

c) Gọi giao điể của BD và KC là I

và giao điểm của BD và AH là E

Xét \(\Delta BCIvà\Delta BKIcó\)

CB = KB (cmt)

\(\widehat{CBI}=\widehat{KBI}\) (B là tia phân giác \(\widehat{B}\) )

BI (chung)

Do đó: \(\Delta BCI=\Delta BKI\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{BIC}=\widehat{BIK}\) (hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{BIC}+\widehat{BIK}=180^0\) (kề bù)

=> \(\widehat{BIC}=\widehat{BIK}=90^0\)

=> \(BI\perp KC\) (1)

Xét \(\Delta BHEvà\Delta BAEcó\) :

\(\widehat{HBE}=\widehat{ABE}\left(cmt\right)\)

BE ( hai cạnh tương ứng)

HB = AB (cmt)

Do đó: \(\Delta BHE=\Delta BAE\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{BEH}=\widehat{BEA}\) (hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{BEH}+\widehat{BEA}=180^0\) (kề bù)

=> \(\widehat{BEH}=\widehat{BEA}=90^0\)

=> \(BE\perp AH\)

hay BI \(\perp AH\) (2)

(1); (2) => AH // KC