Chứng minh tam giác BIC cân biết tam giác ABC cân ở A, BE vuông góc AC

a) Xét \(\Delta ABE;\Delta ACD\) có :

\(\widehat{AEB}=\widehat{ADC}\left(=90^o\right)\)

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{A}:Chung\)

=> \(\Delta ABE=\Delta ACD\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(BE=CD\) (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta DBC;\Delta EBC\) có :

\(\widehat{BDC}=\widehat{BEC}\left(=90^o\right)\)

\(BC:chung\)

\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\) (tam giác ABC cân tại A)

=> \(\Delta DBC=\Delta EBC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta BIC\) có :

\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\) (do \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\) -cmt)

=> \(\Delta BIC\) cân tại I (đpcm)

c) Xét \(\Delta ADE\) có :

\(AD=AE\left(do\Delta ADC=\Delta AEB-cmt\right)\)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A

Nên có : \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> DE // BC (đpcm)