Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân biết DM vuông góc với BC, EN vuông góc với BC

a ) Vì AB = AC => ∆ABC cân tại A => \(\widehat{B_1}=\frac{180-\widehat{A}}{2}\) (1)

AD = AB + BD ; AE = AC + CE

Mà AB = AC (gt) ; BD = CE (gt) => AD = AE

=> ∆ADE cân tại A \(\Rightarrow\widehat{D}=\frac{180-\widehat{A}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{B_1}=\widehat{D}\) Mà lại ở vị trí STL => DE // BC (đpcm)

b ) Vì DE // BC => \(\widehat{D_1}=\widehat{B_3}\left(SLT\right)\)

=> \(\widehat{E_1}=\widehat{C}_3\left(STL\right)\)

Mà \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\) ( Do ∆ADE cân tại A ) => \(\widehat{B_3}=\widehat{C_3}\)

Xét ∆MBD và ∆NCE có :

\(\widehat{M}=\widehat{N}=90\text{ }\)0

BD = CE (gt)

\(\widehat{B_3}=\widehat{C_3}\left(cmt\right)\)

=> ∆MBD = ∆NCE (CH - GN)

=> DM = EN ( cạnh t/ư )

c ) Theo ( b ) ∆MBD = ∆NCE => MB = NC ( cạnh t/ư )

Ta có : \(\widehat{ABM}+\widehat{B_1}=180\)0 ( kề bù ) => \(\widehat{ABM}=180\)0\(-\widehat{B_1}\)

\(\widehat{ACN}+\widehat{C_1}=180\)0 ( kề bù ) => \(\widehat{ACN}=180\)0 \(-\widehat{C_1}\)

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (∆ABC cân tại A)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\)

Xét ∆AMB và ∆ANC có :

AB = AC (gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\) (cmt)

MB = NC

=> ∆AMB = ∆ANC (c - g - c)

=> AM = AN => ∆AMN cân tại A ( theo định nghĩa )