Chứng minh tam giác AMN cân biết tam giác cân ABC có AB=AC

ta có hình vẽ sau:

a) xét \(\Delta HCK\) và \(\Delta HCB\) có:

\(\widehat{HCK}=\widehat{CHB}\) (so le trong)

\(HC\) cạnh chung

\(\widehat{HCB}=\widehat{CHK}\) (so le trong)

\(\Rightarrow\Delta HCK=\Delta HCB\left(g.c.g\right)\)

mà \(H,K\in DE\Rightarrow DE\) //\(BC\)

b)

xét \(\Delta MDB\) và \(\Delta NEC\) có:

\(DB=EC\left(gt\right)\)

\(\widehat{M}=\widehat{N}=90^o\left(gt\right)\)

vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân nên theo tính chất ta có:

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) mà \(\widehat{ABC}=\widehat{B}\) (đối đỉnh) và \(\widehat{ACB}=\widehat{C}\)

Do đó \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\Delta MDB=\Delta NEC\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow DM=EN;MB=NC\) (2 cặp cạnh t.ứng)

c) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)

\(\Rightarrow AB=AC\) (theo định nghĩa) và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (theo tính chất)

mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^o\) (2 góc kề bù)

và \(\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^o\) (2 góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có:

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)

\(MB=NC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AM=AN\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại \(A\)