Chứng minh tam giác AMN cân biết tam giác ABC cân tại A có BD=CE

Hình:

~~~~

a/ Ta có: AB + BD = AC + CE (AB = AC; BD = CE)

hay AD = AE => \(\Delta ADE\) cân tại A

=> \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}=\widehat{D_1}=\widehat{E_1}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\)

mà \(\widehat{B_1}\) và \(\widehat{D_1}\) đồng vị => BC // DE (đpcm)

b/ Xét 2 tam giác vuông: BDM và CEN có:

BD = CE (gt)

\(\widehat{DBM}=\widehat{ECN}\left(=\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\:\right)\)

=> \(\Delta BDM=\Delta CEN\left(ch-gn\right)\) => DM = EN (đpcm)

c/ Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta ANE\) có:

AD = AE (đã cm)

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEN}\)(\(\Delta BDM=\Delta CEN\))

DM = EN (ý c)

=> \(\Delta ADM=\Delta AEN\left(c.g.c\right)\)

=> AM = AN => tam giác AMN cân tại A (đpcm)

d/ Xét 2 tg vuông BMH và CNK có:

\(\widehat{HMB}=\widehat{KNC}\) (tam giác AMN cân)

BM = CN( tam giác BDM = tam giác CEN)

=> \(\Delta BMH=\Delta CNK\) (ch- gn)

=> MH = NK mà AM = AN => AH = AK

xét 2 tg vuông AHI và AKI có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AI:chung\\AH=AK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\Delta AHI=\Delta AKI\left(ch-1cgv\right)\)

=> \(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\) hay \(\widehat{MAI}=\widehat{NAI}\) mà AI nằm giữa AM và AN

=> AI là tia p/g của \(\widehat{MAN}\) (1)

Ta có: BH = CK (tam giác BMH = CNK)

mặt #: HI = KI (tam giác AHI = tam giác AKI)

=> BI = CI

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có:

AB = AC (gt)

AI: chung

BI = CI (cmt)

=> \(\Delta ABI=\Delta ACI\) (c.c.c)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) mặt #: AI nằm giữa AB và AC

=> AI là tia p/g \(\widehat{BAC}\) (2)

Từ (1), (2) => AI là tia phân giác chung của 2 góc BAC và MAN.