Chứng minh tam giác ADE cân biết ABC cân tại A và BD=CF

a) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^{^O}\\\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^{^O}\end{matrix}\right.\left(Kềbù\right)\)

Suy ra : \(180^{^O}-\widehat{ABC}=180^{^O}-\widehat{ACB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét ΔABD và ΔACE có :

\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

=> \(\text{ΔABD = ΔACE}\) (c.g.c)

=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)

Do đó, \(\Delta ADE\) cân tại A.

b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}BD=CE\left(gt\right)\\BM=MC\left(\text{M là trung điểm của BC}\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}DM=BD+BM\\EM=CE+CM\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(BD+BM=CE+CM\)

\(\Leftrightarrow DM=EM\)

Xét \(\Delta ADM,\Delta AEM\) có :

AD = AE (cmt)

\(AM:Chung\)

\(DM=EM\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta ADM=\Delta AEM\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\) (2 góc tương ứng)

=> AM là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\)

=> đpcm

c) Xét \(\Delta HDB,\Delta KEC\) có :

\(\widehat{DHB}=\widehat{EKC}\left(=90^{^O}\right)\)

DB = CE (gt)

\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\) (ΔABD = ΔAEC)

=> \(\Delta HDB=\Delta KEC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = CK (2 cạnh tương ứng).