Chứng minh tam giác ABF cân biết tam giác ABC có góc B=60 độ, phân giác BD

a, Vì BD là phân giác của \(\widehat{B}\) nên \(\widehat{ABD}\)=\(\widehat{CBD}\)=\(\dfrac{1}{2}\widehat{B}\)= \(\dfrac{1}{2}60^O\)=30\(^O\)

Vì AH\(\perp BD\) tại H (gt)

mà \(\widehat{AHD}+\widehat{AHB}=180^O\) (kề bù)

nên => 2. \(\widehat{AHD}\)= 180\(^o\)

=> \(\widehat{AHD}\)= 90\(^o\) (hay \(\widehat{AHB}\)=90\(^o\))

Trong \(\Delta ABH\) có:

\(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^O\)(phụ nhau)

=> \(\widehat{BAH}\) =90\(^o\)-\(\widehat{ABH}\)

=90\(^o\)-30\(^o\)

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta EBH\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHB=\widehat{EHB=90^O}}\\\widehat{ABH=\widehat{EBH}}\left(gt\right)\\BHchung\end{matrix}\right.\)

Suy ra \(\Delta ABH\)=\(\Delta EBH\) (gcg)

=> \(\widehat{BAH}\)=\(\widehat{BEH}\) (=60\(^o\)) mà \(\widehat{ABE}\)=60\(^o\) (gt)

=> \(\Delta ABE\) đều

Vậy \(\widehat{BAH}\)=60\(^o\) và \(\Delta ABE\) đều

b, Vì \(\Delta ABE\) đều (cmt) nên AB=BE

Lại có: \(\widehat{ABD}\)=\(\widehat{EBD}\) (gt)

BD chung

Từ đó suy ra \(\Delta DBA=\Delta DBE\) (cgc)

Vậy \(\Delta DBA=\Delta DBE\)

c, Ta có \(\widehat{ABE}+\widehat{ABF}\)=180\(^o\) (kề bù)

\(\widehat{ABF}\) = 180\(^o\)-\(\widehat{ABE}\)

=180\(^o\)-60\(^o\)=120\(^o\)

Vì \(\widehat{FAB}=\widehat{BAD}\left(slt\right)\) nên suy ra \(\widehat{FAB}=\widehat{BAD}\)=30\(^o\)

Trong \(\Delta ABF\) có: \(\widehat{ABF}+\widehat{BFA}+\widehat{FAB}=180^O\)

\(\widehat{BFA}\) =180\(^o\)-\(\widehat{BAF}-\widehat{FBA}\)

=180\(^o\)-30\(^o\)-120\(^o\)

=30\(^o\)

mÀ \(\widehat{BAF}\)=30\(^o\) hay \(\widehat{BAF}\)=\(\widehat{BFA}\) (=30\(^o\))

Từ đó suy ra \(\Delta ABF\) cân tại B.