Chứng minh tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi AM=BC/2 biết M là trung điểm BC

1)Ta CM : \(\Delta ABC\) vuông tại A => \(AM=\dfrac{BC}{2}\)

Giải |:

Trên tia đối tia MA là điểm D sao cho MA=MD

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta DMC\); có :

MA=MD(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)( đối đỉnh )

MB=MC

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta DMC\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{D}\) và AB=CD

=> AB//CD

\(\Rightarrow\widehat{BAC}+\widehat{ACD}=180^0\left(TCP\right)\\ \Rightarrow\widehat{ACD}=90^0\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDA\); có :

AB=CD(cmt)

\(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\left(=90^0\right)\)

Cạnh AC(chung)

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta CDA\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow AD=BC\)

Mà \(AM=\dfrac{1}{2}AD\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{BC}{2}\left(đpcm\right)\)

2) Ta CM : nếu \(AM=\dfrac{1}{2}BC\) thì \(\Delta ABC\) vuông tại A

Tự vẽ hình vì TH này k cần đường phụ

Ta có : \(AM=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow MA=MB=MC\)

\(MA=MC\Rightarrow\Delta MAC\) cân tại M=> \(\widehat{MAC}=\widehat{C}\)(1)

TT : \(\widehat{MAB}=\widehat{B}\)(2)

Từ (1);(2) => \(\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}\)

Mà \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\Rightarrow2.\widehat{A}=180^0\\ \Rightarrow\widehat{A}=90^0\left(đpcm\right)\)