Chứng minh PC=PA và CM//MN biết tam giác MNP cân tại P và MA vuông PN

a) Xét \(\Delta PAM;\Delta PCN\) có :

\(\widehat{PAM}=\widehat{PCN}\left(=90^{^O}\right)\)

\(PM=PN\) (Tam giác MNP cân tại P)

\(\widehat{P}:Chung\)

=> \(\Delta PAM=\Delta PCN\)(cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(PA=PC\) (2 cạnh tương ứng)

* Mình sửa lại chút nhé , chứng minh CA // MN (có gì sai sót thì bạn góp ý nhé)

Xét \(\Delta PCA\) cân tại P (PA =PC - cmt) có :

\(\widehat{PCA}=\widehat{PAC}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta PMN\) cân tại P có :

\(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{PCA}=\widehat{PMN}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra : CA // MN (đpcm)

b) Xét \(\Delta CMN;\Delta AMN\) có:

\(\widehat{CMN}=\widehat{ANM}\) (tam giác MPN cân tại P)

\(MN:chung\)

\(\widehat{MCN}=\widehat{NAM}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta CMN=\Delta AMN\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\widehat{CNM}=\widehat{AMN}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta IMN\) có :

\(\widehat{IMN}=\widehat{INM}\) (do \(\widehat{CNM}=\widehat{AMN}\)- cmt)

=> \(\Delta IMN\) cân tại I (đpcm)

c) Xét \(\Delta PMK;\Delta PNK\) có :

\(PM=PN\left(gt\right)\)

\(\widehat{PMK}=\widehat{PNK}\) (Tam giác MNP cân tại P)

\(PK:chung\)

=> \(\Delta PMK=\Delta PNK\left(c.g.c\right)\)

=> \(MK=NK\) (2 cạnh tương ứng)

Do đó : K là trung điểm của MN