Chứng minh OI vuông góc BD biết I là giao điểm của AD và BC

Bạn tự vẽ hình nhé

a, Xét ΔAOD và ΔCOB có:

OA=OC (GT)

\(\widehat{AOC}chung\)

OD = OB (GT)

⇒ ΔAOD = ΔCOB (c.g.c)

⇒ AD = BC ( 2 cạnh tương ứng)

b, Ta có: OB = OD(GT)

OA = OC (GT)

⇒ OB - OA = OD - OC

hay AB = CD

Vì ΔAOD = ΔCOB (CMT)

\(\widehat{ODA}=\widehat{OBC}\) (2 góc tương ứng)

hay \(\widehat{CDI}=\widehat{ABI}\)

Lại có: ΔAOD = ΔCOB (CMT)

⇒ \(\widehat{OAD}=\widehat{OCD}\)

hay \(\widehat{OAI}=\widehat{OCI}\)

Ta có: \(\widehat{OAI}+\widehat{BAI}=180^0\)(2 góc kề bù)

\(\widehat{OCI}+\widehat{DCI}=180^0\)(2 góc kề bù)

mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OCI}\left(CMT\right)\)

⇒ \(\widehat{BAI}=\widehat{DCI}\)

Xét ΔAIB và ΔCID có:

\(\widehat{BAI}=\widehat{DCI}\left(CMT\right)\)

AB = CD (CMT)

\(\widehat{ABI}=\widehat{CDI}\left(CMT\right)\)

⇒ ΔAIB= ΔCID (g.c.g)

⇒ AI = CI (2 cạnh tương ứng)

c, Xét ΔOAI và ΔOCI có:

OA = OC(GT)

\(\widehat{OAI}=\widehat{OCI}\left(CMT\right)\)

AI = CI (CMT)

⇒ ΔOAI = ΔOCI (c.g.c)

⇒ \(\widehat{AOI}=\widehat{COI}\) (2 góc tương ứng)

mà OI nằm giữa OA và OC

⇒ OI là tia phân giác của \(\widehat{AOC}\) (đ/n tia p/g 1 góc)\

hay OI là tia p/g của \(\widehat{BOD}\)

Xét ΔBOD có:

OB = OD(GT)

⇒ ΔBOD cân tại O(đ/n Δ cân)

Xét ΔBOD cân tại O có:

OI là tia phân giác của \(\widehat{BOD}\)(CMT)

⇒ OI đồng thời là đường cao ứng với cạnh BD(t/c Δcân)

⇒OI ⊥ BD (đ/n đường cao)