Chứng minh nếu 2^n - 1 chia hết 9 thì 2^n - 1 chia hết cho 7

Lời giải:

a) Vì \(2^6\equiv 1\pmod 9\) nên ta sẽ xét modulo $6$ của $n$

+ Nếu \(n=6k\) thì \(2^{n}-1=(2^6)^k-1\equiv 1^k-1\equiv 0\pmod 9\)

+ Nếu \(n=6k+1\Rightarrow 2^n-1=2.2^{6k}-1\equiv 2-1\equiv 1\pmod 9\)

+ Nếu \(n=6k+2\Rightarrow 2^{n}-1=2^2.2^{6k}-1\equiv 2^2-1\equiv 3\pmod 9\)

+ Nếu \(n=6k+3\Rightarrow 2^n-1=2^3.2^{6k}-1\equiv 2^3-1\equiv 7\pmod 9\)

+ Nếu \(n=6k+4\Rightarrow 2^n-1=2^4.2^{6k}-1\equiv 2^4-1\equiv 6\pmod 9\)

+ Nếu \(n=6k+5\Rightarrow 2^n-1=2^5.2^{6k}-1\equiv 2^5-1\equiv 4\pmod 9\)

Như vậy, số $n$ thỏa mãn \(2^n-1\vdots 9\) là số có dạng \(6k\)

Ta cũng có \(2^6\equiv 1\pmod 7\) nên

\(2^n-1=2^{6k}-1\equiv 1-1\equiv 0\pmod 7\)

Do đó, \(2^n-1\vdots 7\) (đpcm)

b) Tương tự phần a, để ý rằng \(2^6\equiv 1\pmod {21}\)

Ta xét modulo $6$ cho $n$ sẽ thu được những kết quả sau:

\(n=6k \Rightarrow 2^n-1\equiv 0\pmod {21}\)

\(n=6k+1\Rightarrow 2^n-1\equiv 1\pmod {21}\)

\(n=6k+2\Rightarrow 2^n-1\equiv 3\pmod {21}\)

\(n=6k+3\Rightarrow 2^n-1\equiv 7\pmod {21}\)

\(n=6k+4\Rightarrow 2^n-1\equiv 15\pmod {21}\)

\(n=6k+5\Rightarrow 2^n-1\equiv 10\pmod {21}\)