Chứng minh ND là phân giác góc MNC biết tam giác ABC cân tại A có phân giác AD

Lời giải:

a)Áp dụng định lý Ta-let cho trường hợp \(DM\parallel AC\):

\(\frac{BD}{DC}=\frac{BM}{MA}(1)\)

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường phân giác $AD$ đồng thời là đường trung tuyến. Do đó \(BD=DC(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{BM}{MA}=1\Rightarrow BM=MA\) hay $M$ là trung điểm của $AB$

b)

$M$ là trung điểm của $AB$ nên $CM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$

Tam giác $ABC$ có 2 đường trung tuyến $AD, CM$ giao nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm.

Theo t/c trọng tâm ta có:

\(AG=\frac{2}{3}AD\Rightarrow AG=\frac{2}{3}AG+\frac{2}{3}GD\Rightarrow \frac{1}{3}AG=\frac{2}{3}GD\Rightarrow GD=\frac{GA}{2}\)

c)

Do \(DM\parallel AC\Rightarrow \widehat{DMN}=\widehat{MNA}\) (so le trong)

Mà \(\widehat{DMN}=\widehat{DMB}=\widehat{NAM}\) (so le trong)

Do đó: \(\widehat{MNA}=\widehat{NAM}\Rightarrow \) tam giác $MAN$ cân tại $M$

\(\Rightarrow MA=MN(1)\)

Mặt khác: \(\widehat{BDM}=\widehat{C}; \widehat{MBD}=\widehat{B}; \widehat{B}=\widehat{C}\) do tam giác $ABC$ cân

\(\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{MBD}\Rightarrow \) tam giác $MBD$ cân tại $M$

\(\Rightarrow MB=MD(2)\)

Từ (1)(2) kết hợp $MA=MB$ suy ra $MN=MD$

\(\Rightarrow \widehat{MDN}=\widehat{MND}\)

Mà \(\widehat{MDN}=\widehat{DNC}\) (so le trong)

Do đó: \(\widehat{MND}=\widehat{DNC}\) hay $ND$ là phân giác góc $MNC$