Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE biết AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH

a, Do tam giác ABH vuông tại H => \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^0\) (1)

Mà \(\widehat{BAH}+90^0+\widehat{DAM}=180^0\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{DAM}=90^0\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ABH}=\widehat{DAM}\)

Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta ADM\) có:

\(\widehat{DMA}=\widehat{AHB}=90^0\)

AB=AD (gt)

\(\widehat{ABH}=\widehat{DAM}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta BAH=\Delta ADM\left(CH-GN\right)\)

=> DM=AH (2 cạnh tương ứng)

Vậy DM=AH.

b, Vì tam giác AHC vuông tại H \(\Rightarrow\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^0\) (3)

Mà \(\widehat{HAC}+90^0+\widehat{NAE}=180^0\Rightarrow\widehat{HAC}+\widehat{NAE}=90^0\) (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{HCA}=\widehat{NAE}\)

Xét tam giác AHC và tam giác ENA có:

\(\widehat{AHC}=\widehat{ENA}=90^0\)

AC=AE (gt)

\(\widehat{HCA}=\widehat{NAE}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta AHC=\Delta ENA\left(CH-GN\right)\Rightarrow AH=EN\)

Mà AH=DM (cmt) => DM=EN

Gọi F là giao điểm của NM và DE, xét \(\Delta DFM\) và \(\Delta EFN\) có:

\(\widehat{DFM}=\widehat{EFN}\left(đ^2\right)\)

DM=EN

\(\widehat{DMF}=\widehat{ENF}=90^0\)

=> \(\Delta DFM=\Delta EFN\left(CH-GN\right)\) => DF=EF. Mặt khác, F thuộc DE => F là trung điểm của DE => MN đi qua trung điểm của DE (F thuộc MN)

Vậy MN đi qua trung điểm của DE