Chứng minh MN//BC biết tam giác ABC vuông tại A có BM=CN

Chữa lại đề: \(\Delta ABC\) vuông cân tại A.

Bài làm:

a, Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\BM=CN\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow AB-BM=AC-CN\)\(\Rightarrow AM=AN\)

\(\Delta ACM\) và \(\Delta ABN\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AC=AB\left(gt\right)\\\widehat{A}chung\\AN=AM\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ACM=\Delta ABN\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow CM=BN\)(2 cạnh tương ứng)

b, Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại A nên\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (*)

\(\Delta ABC\) có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

Từ (*) suy ra: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^0\) (1)

Vì \(\Delta AMN\) vuông cân tại A nên \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\) (**)

\(\Delta AMN\) có: \(\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=90^0\)

Từ (**) suy ra: \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=45^0\) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}=45^0\)

\(\Rightarrow MN//BC\) (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

c,+ \(\Delta ABN=\Delta ACN\left(đcm\right)\) nên\(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (2 góc t/ứng)

Từ câu b ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) nên: \(\widehat{ABC}-\widehat{B_1}=\widehat{ACB}-\widehat{C_1}\)

\(\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)

\(\Rightarrow\Delta IBC\) là tam giác cân

+\(\Delta AMN\) cân tại A(đcm) nên \(\widehat{M_1}=\widehat{N_1}\)

Lại có:\(\Delta ABN=\Delta ACN\left(đcm\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{ANB}\)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}-\widehat{M_1}=\widehat{ANB}-\widehat{N_1}\)

\(\Rightarrow\widehat{M_2}=\widehat{N_2}\)

\(\Rightarrow\Delta IMN\) là tam giác cân

+ Từ câu b\(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(đcm\right)\\AHchung\\BH=HC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(2 góc t/ứng)

\(\Rightarrow AH\) là tia phân giác của \(BAC\)(1)

+Do \(\Delta IMN\) cân (đcm) nên \(IM=IN\)

\(\Delta AIM\) và \(\Delta AIN\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AM=AN\left(gt\right)\\AIchung\\IM=IN\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AIM=\Delta AIN\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{NAI}\) (2 góc t/ứng)
\(\Rightarrow AI\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(A,I,H\) thẳng hàng

P/s: + đcm là đã chứng minh

+ cmt là chứng minh trên

Good luck!