Chứng minh MH=MK biết tam giác ABC vuông cân tại A có AM vuông góc BC

Gọi giao điểm của BH và AM là I

Ta có : BAK+KAC= 90( 1)

Trong \(\Delta\)BHA có B+ BAK=90(2)

Từ (1) và (2) suy ra: B=KAC

Xét \(\Delta\)BHA vuông tại H và \(\Delta\) AKC vuông tại K có:

AB=AC ( do abc cân tại A)

B= KAC (c/m trên)

=> \(\Delta\)BHA=\(\Delta\)AKC ( cạnh góc vuông- góc nhọn)

=> BH=AK ( 2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\)BMA vuông tại M và \(\Delta\)CMA vuông tại M có:

BA= CA( do \(\Delta\)ABC cân tại A)

MA chung

=> \(\Delta\)BMA = \(\Delta\)CMA ( Cạnh huyền- cạnh góc vuông)

=> \(\widehat{BMA}=\widehat{CMA}\)( tương ứng) (1)

và \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)( 2)

Ta có: \(\widehat{BMA}+\widehat{CMA}=180\) (kề bù) (3)

Thay ( 2) và (3) ta đc:

\(\widehat{BMA}=\widehat{CMA}=90\)

Ta lại có : \(\widehat{BAM}+\widehat{CAM}=90\) (4)

Thay (1) vào (4) ta đc: \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=45\)

Áp dụng tính chất tổng 3 góc vào \(\Delta\)MAB ta có:

\(\widehat{BAM}+\widehat{MBA}+\widehat{BMA}=180\)

=> 45 + \(\widehat{MBA}\) + 90= 180

=> MBA = 45 (5)

Từ (1) và (5) suy ra : \(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)

Do đó : \(\Delta\)MAB cân tại M => BM=AM

Trong \(\Delta\)MBI vuông tại M có: \(\widehat{HBM}+\widehat{BIM}=90\)(*)

Trong \(\Delta\)AHI vuông tại H có: \(\widehat{IAH}+\widehat{AIH}=90\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra : \(\widehat{HBM}+\widehat{BIM}=\widehat{IAH}+\widehat{AIH}\)

Mà BIM=AIH ( đối đỉnh)

Suy ra: IAH = HBM hay MAK = HBM

Xét \(\Delta\)MBH và \(\Delta\)MAK có:

BM = BA (c/m trên)

HBM = MAK ( c/m trên)

AK=BH ( c/m trên)

=> \(\Delta\)MBH=\(\Delta\)MAK ( c-g-c)

=> MH=MK( 2 cạnh tương ứng)